同济高数 第4章 第4-5-16题
📝 题目
16． $\displaystyle{\int} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x $$
**步骤1：观察被积函数形式** 分母含有 $\sqrt{x^2 - 1}$，这提示我们使用三角代换。 令 $x = \sec t$，其中 $t \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi)$，则 $$ \mathrm{d}x = \sec t \tan t \, \mathrm{d}t $$ 且 $$ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \sqrt{\tan^2 t} = |\tan t| $$ 在 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时，$\tan t > 0$，因此可去掉绝对值。
**步骤2：代入化简** 原积分变为： $$ \int \frac{1}{\sec t \cdot \tan t} \cdot \sec t \tan t \, \mathrm{d}t = \int 1 \, \mathrm{d}t = t + C $$
**步骤3：回代变量** 由 $x = \sec t$ 得 $t = \operatorname{arcsec} x$，因此 $$ \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x = \operatorname{arcsec} x + C $$
**步骤4：另一种常见形式** 注意到 $\operatorname{arcsec} x = \frac{\pi}{2} - \arccos\frac{1}{x}$，常数可合并，因此也可写作 $$ \arccos\frac{1}{x} + C $$ 或 $$ \arctan \sqrt{x^2 - 1} + C $$ 但最简洁形式为 $\operatorname{arcsec} x + C$。
**最终答案：** $$ \boxed{\operatorname{arcsec} x + C} $$
难度评级：★★☆☆☆ （属于基本三角代换积分，步骤直接，但需熟悉反三角函数形式）