同济高数 第5章 第5-2-12题

[AI解答]

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(1) 求极限 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos t^{2} \, dt}{x} $$

**步骤：** 当 $x \to 0$ 时，分子和分母都趋于 0，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可用洛必达法则。 对分子求导，由微积分基本定理得： $$ \frac{d}{dx} \int_0^x \cos t^2 \, dt = \cos x^2 $$ 分母 $x$ 的导数为 1。 因此： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \cos t^2 \, dt}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x^2}{1} = \cos 0 = 1 $$

**答案：** $$ \boxed{1} $$

(2) 求极限 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\left( \displaystyle{\int}_{0}^{x} e^{t^{2}} \, dt \right)^{2}}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t e^{2 t^{2}} \, dt} $$

**步骤：** 当 $x \to 0$ 时，分子和分母都趋于 0，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，使用洛必达法则。 先对分子求导： $$ \frac{d}{dx} \left( \int_0^x e^{t^2} dt \right)^2 = 2 \left( \int_0^x e^{t^2} dt \right) \cdot e^{x^2} $$ 对分母求导： $$ \frac{d}{dx} \int_0^x t e^{2t^2} dt = x e^{2x^2} $$ 于是原极限变为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x^2} \int_0^x e^{t^2} dt}{x e^{2x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \int_0^x e^{t^2} dt}{x e^{x^2}} $$ 此时仍是 $\frac{0}{0}$ 型，再次使用洛必达法则。 分子导数为 $2 e^{x^2}$，分母导数为： $$ \frac{d}{dx} (x e^{x^2}) = e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2} = e^{x^2}(1 + 2x^2) $$ 因此： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x^2}}{e^{x^2}(1 + 2x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{1 + 2x^2} = 2 $$

**答案：** $$ \boxed{2} $$

难度评级：★★☆☆☆