同济高数 第6章 第6-3-11题

[AI解答]

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**问题分析** 我们有一半径为 $R$、圆心角为 $\varphi$ 的圆弧形细棒，线密度为常数 $\mu$。在圆心处有一质量为 $m$ 的质点 $M$。要求细棒对质点 $M$ 的引力。 由于对称性，我们可以将圆弧对称放置，使得引力在某一方向的分量可能抵消，简化计算。

**步骤1：建立坐标系** 将圆弧放在 $xy$ 平面内，圆心在原点 $O$，质点 $M$ 也在原点。设圆弧关于 $x$ 轴对称，即圆弧从角度 $-\frac{\varphi}{2}$ 到 $\frac{\varphi}{2}$。 取微元：对应角度 $\theta$ 处取一小段弧长 $ds = R\,d\theta$，该微元的质量为 $dm = \mu ds = \mu R d\theta$。

**步骤2：引力微元分析** 该微元对质点的引力大小（万有引力公式）为 $$ dF = G \frac{m\, dm}{R^2} = G \frac{m \mu R d\theta}{R^2} = \frac{G m \mu}{R} d\theta, $$ 方向沿微元与质点的连线，即从原点指向微元位置（径向向外）。由于质点位于圆心，微元对它的引力方向是径向的。

**步骤3：分解为分量** 由于对称性，圆弧关于 $x$ 轴对称，$y$ 方向的分量会相互抵消，只需计算 $x$ 方向的分量。 对于角度 $\theta$ 处的微元，其引力方向与 $x$ 轴夹角为 $\theta$，因此 $$ dF_x = dF \cos\theta = \frac{G m \mu}{R} \cos\theta\, d\theta, $$ $$ dF_y = dF \sin\theta = \frac{G m \mu}{R} \sin\theta\, d\theta. $$

**步骤4：积分求合力** 对 $x$ 方向积分： $$ F_x = \int_{-\varphi/2}^{\varphi/2} \frac{G m \mu}{R} \cos\theta\, d\theta = \frac{G m \mu}{R} \int_{-\varphi/2}^{\varphi/2} \cos\theta\, d\theta. $$ 计算积分： $$ \int_{-\varphi/2}^{\varphi/2} \cos\theta\, d\theta = \left[ \sin\theta \right]_{-\varphi/2}^{\varphi/2} = \sin\frac{\varphi}{2} - \left(-\sin\frac{\varphi}{2}\right) = 2\sin\frac{\varphi}{2}. $$ 因此 $$ F_x = \frac{G m \mu}{R} \cdot 2\sin\frac{\varphi}{2} = \frac{2G m \mu}{R} \sin\frac{\varphi}{2}. $$ 对 $y$ 方向积分： $$ F_y = \int_{-\varphi/2}^{\varphi/2} \frac{G m \mu}{R} \sin\theta\, d\theta = \frac{G m \mu}{R} \int_{-\varphi/2}^{\varphi/2} \sin\theta\, d\theta. $$ 由于 $\sin\theta$ 是奇函数，对称区间积分为零： $$ F_y = 0. $$

**步骤5：结果** 细棒对质点 $M$ 的引力大小为 $$ F = \frac{2G m \mu}{R} \sin\frac{\varphi}{2}, $$ 方向沿圆弧对称轴（$x$ 轴正方向，指向圆弧中心方向）。

**最终答案** $$ \boxed{F = \frac{2G m \mu}{R} \sin\frac{\varphi}{2}} $$

难度：★★☆☆☆