同济高数 第6章 第6-3-7题
📝 题目
7．有一铅直放置的矩形闸门，它的顶端与水面相平，一条对角线将闸门分成两个三角形区域。试证：其中一个三角形区域上所受的水压力是另一个三角形区域上所受水压力的 2 倍．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设矩形闸门宽为 $2a$，高为 $h$，顶端与水面相平。取坐标系：以水面为 $x$ 轴，竖直向下为 $y$ 轴正方向，则闸门位于 $0 \le y \le h$，宽度方向对称于 $y$ 轴，即 $-a \le x \le a$。
矩形的一条对角线将矩形分成两个三角形。不妨设该对角线为从左上角 $(-a,0)$ 到右下角 $(a,h)$ 的直线，其方程为 $$ x = a - \frac{2a}{h}y $$ 或写作 $$ x = a\left(1 - \frac{2y}{h}\right). $$ 此线将矩形分为两个三角形区域： - 区域 $D_1$：位于对角线上方（靠近左侧），即满足 $x \le a\left(1 - \frac{2y}{h}\right)$； - 区域 $D_2$：位于对角线下方（靠近右侧），即满足 $x \ge a\left(1 - \frac{2y}{h}\right)$。
水深为 $y$ 处的压强为 $p = \rho g y$（$\rho$ 为水的密度，$g$ 为重力加速度）。作用在面积微元 $\mathrm{d}A = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 上的压力为 $$ \mathrm{d}F = \rho g y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. $$
先计算区域 $D_1$ 所受总压力 $F_1$。对于固定的 $y$，$x$ 的范围是从左边界 $x=-a$ 到对角线 $x = a\left(1 - \frac{2y}{h}\right)$，且 $y$ 从 $0$ 到 $h$： $$ F_1 = \iint_{D_1} \rho g y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \rho g \int_{0}^{h} y \left[ \int_{-a}^{a\left(1 - \frac{2y}{h}\right)} \mathrm{d}x \right] \mathrm{d}y. $$ 内层积分： $$ \int_{-a}^{a\left(1 - \frac{2y}{h}\right)} \mathrm{d}x = a\left(1 - \frac{2y}{h}\right) - (-a) = 2a - \frac{2a}{h}y = 2a\left(1 - \frac{y}{h}\right). $$ 因此 $$ F_1 = \rho g \int_{0}^{h} y \cdot 2a\left(1 - \frac{y}{h}\right) \mathrm{d}y = 2a\rho g \int_{0}^{h} \left( y - \frac{y^2}{h} \right) \mathrm{d}y. $$ 计算积分： $$ \int_{0}^{h} y\,\mathrm{d}y = \frac{h^2}{2},\quad \int_{0}^{h} \frac{y^2}{h}\,\mathrm{d}y = \frac{1}{h}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac{h^2}{3}. $$ 所以 $$ F_1 = 2a\rho g \left( \frac{h^2}{2} - \frac{h^2}{3} \right) = 2a\rho g \cdot \frac{h^2}{6} = \frac{a\rho g h^2}{3}. $$
再计算区域 $D_2$ 所受总压力 $F_2$。对于固定的 $y$，$x$ 的范围是从对角线 $x = a\left(1 - \frac{2y}{h}\right)$ 到右边界 $x = a$，$y$ 从 $0$ 到 $h$： $$ F_2 = \rho g \int_{0}^{h} y \left[ \int_{a\left(1 - \frac{2y}{h}\right)}^{a} \mathrm{d}x \right] \mathrm{d}y. $$ 内层积分： $$ \int_{a\left(1 - \frac{2y}{h}\right)}^{a} \mathrm{d}x = a - a\left(1 - \frac{2y}{h}\right) = \frac{2a}{h}y. $$ 因此 $$ F_2 = \rho g \int_{0}^{h} y \cdot \frac{2a}{h}y\,\mathrm{d}y = \frac{2a\rho g}{h} \int_{0}^{h} y^2\,\mathrm{d}y = \frac{2a\rho g}{h} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{2a\rho g h^2}{3}. $$
比较两者： $$ F_2 = 2 \cdot \frac{a\rho g h^2}{3} = 2F_1. $$ 即对角线下方三角形区域所受水压力是上方三角形区域所受水压力的2倍，命题得证。
难度：★★☆☆☆