第3章 连续函数

例 3 在第二章 §5 中,我们还证明了 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\sin x = \sin {x}_{0} $$ $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\cos x = \cos {x}_{0}. $$ 由此容易得到 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\tan x = \tan {x}_{0}\;\left( {{x}_{0} \neq {k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right) , $$ $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\cot x = \cot {x}_{0}\;\left( {{x}_{0} \neq {l\pi }}\right) . $$ 因而基本三角函数在它们有定义的地方都是连续的. 以下一些结果很容易从关于极限的相应结果导出. 定理 1 设函数 $f$ 在 ${x}_{0}$ 点连续,则存在 $\delta > 0$ ,使得函数 $f$ 在 $U\left( {{x}_{0},\delta }\right)$ 上有界. 定理 2 设函数 $f\left( x\right)$ 和 $g\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续,则 (1) $f\left( x\right) \pm g\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 处连续; (2) $f\left( x\right) \cdot g\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 处连续; (3) $\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }$ 在使得 $g\left( {x}_{0}\right) \neq 0$ 的 ${x}_{0}$ 处连续. 注记 因为常值函数 $f\left( x\right) \equiv c$ 在任意 ${x}_{0}$ 点连续,所以从 (2) 可以得到: (4) ${cg}\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续. 定理 3 设函数 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续,则函数 $\left| {f\left( x\right) }\right|$ 也在 ${x}_{0}$ 点连续.

例 1 设函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续并且满足 $f\left( [a,b]\right) \subset [a,b]$ （这就是说: $f\left( x\right) \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$）. 试证明存在 $c \in$ $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得 $$ f\left( c\right) = c, $$ (这样的点 $c$ 称为 $f$ 的一个不动点. 本例说明:把 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 映入 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 之中的连续函数必定有不动点. 这是著名的布劳威尔 (Brouwer) 不动点定理的一个特殊情形. )

例 2 考察方程 ${x}^{3} - {2x} - 5 = 0$ . 我们记 $$ f\left( x\right) = {x}^{3} - {2x} - 5. $$ 因为 $$ f\left( 2\right) = - 1 < 0 < f\left( 3\right) = {16}, $$ 所以方程 $f\left( x\right) = 0$ 在(2,3)中有一个根. 我们用对分区间法求此根的近似值, 得到如下的结果: 我们取根的近似值 $$ \widetilde{c} = \frac{{2.09375} + {2.109375}}{2} = {2.1015625}. $$ $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{判别} f\left( {a}_{k}\right) \lt 0 \lt f\left( {b}_{k}\right)& \text{确定根的范围} \left( {{a}_{k},{b}_{k}}\right)\\ \hline f\left( 2\right) < 0 < f\left( 3\right) & (2,3) \\ f\left( 2\right) \lt 0 lt f\left( {2.5}\right) & (2,2.5) \\ f\left( 2\right) \lt 0 lt f\left( {2.25}\right) & (2,2.25) \\ f\left( 2\right) \lt 0 lt f\left( {2.125}\right) & (2,2.125) \\ f\left( {2.0625}\right) \lt 0 \lt f\left( {2.125}\right) & (2.0625,2.125) \\ f\left( {2.09375}\right) \lt 0 \lt f\left( {2.125}\right) & (2.09375, 2.125) \\ f\left( {2.09375}\right) \lt 0 \lt f\left( {2.109375}\right) & (2.09375, 2.109375) \\ \hline \end{array} $$ 误差的界为 $$ \left| {\widetilde{c} - c}\right| \leq \frac{1}{{2}^{7}} = \frac{1}{128} = {0.0078125}. $$ 以下的介值定理是定理 1 的推广. 定理 2 (介值定理) 设函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续. 如果在这闭区间的两端点的函数值 $f\left( a\right) = \alpha$ 与 $f\left( b\right) = \beta$ 不相等,那么在这两点之间函数 $f$ 能够取得介于 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的任意值 $\gamma$ . 这就是说,如果 $f\left( a\right) < \gamma < f\left( b\right)$ （或者 $f\left( a\right) > \gamma > f\left( b\right)$ ）,那么存在 $c \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 $$ f\left( c\right) = \gamma . $$

例 4 函数 $g\left( x\right) = \sin x/x$ 在开区间(0,1)上连续,它在该开区间上是有界的: $$ \left| {g\left( x\right) }\right| \leq 1,\;\forall x \in \left( {0,1}\right) . $$ 定理 4 (最大值与最小值定理) 设函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续, 记 $$ M = \mathop{\sup }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}f\left( x\right) ,\;m = \mathop{\inf }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}f\left( x\right) , $$ 则存在 ${x}^{\prime },{x}^{\prime \prime } \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得 $$ f\left( {x}^{\prime }\right) = M,\;f\left( {x}^{\prime \prime }\right) = m. $$

例 6 考察 $E = \mathbb{R},g\left( x\right) = {x}^{2}$ 的情形. 对于给定的 $\varepsilon > 0$ ,不论 $\delta$ 是怎样小的一个正数,总存在这样一点 $$ {x}_{0} = \frac{2\varepsilon }{\delta } $$ 和邻近 ${x}_{0}$ 的另一点 $$ {x}_{1} = \frac{2\varepsilon }{\delta } + \frac{\delta }{2}, $$ 使得 $$ \left| {{x}_{1} - {x}_{0}}\right| = \delta /2 < \delta , $$ $$ \left| {g\left( {x}_{1}\right) - g\left( {x}_{0}\right) }\right| = \left( {{x}_{1} + {x}_{0}}\right) \left( {{x}_{1} - {x}_{0}}\right) $$ $$ > \left( {\frac{2\varepsilon }{\delta } + \frac{2\varepsilon }{\delta }}\right) \frac{\delta }{2} = {2\varepsilon }. $$ 这就是说,不存在适用于所有的 ${x}_{0}$ 的 $\delta > 0$ . 如果 $E = \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 是一个闭区间,那么对前述问题的回答就是肯定的了. 本段就来证明这一重要事实. 先介绍必要的术语. 定义 设 $E$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个子集,函数 $f$ 在 $E$ 上有定义. 如果对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 $\delta > 0$ ,使得只要 $$ {x}_{1},{x}_{2} \in E,\;\left| {{x}_{1} - {x}_{2}}\right| < \delta , $$ 就有 $$ \left| {f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }\right| < \varepsilon , $$ 那么我们就说函数 $f$ 在集合 $E$ 上是一致连续的. 定理 5 (一致连续性定理) 如果函数 $f$ 在闭区间 $I = \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,那么它在 $I$ 上是一致连续的.

例 1 考察函数 $$ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \sin \frac{1}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. $$ 我们看到函数 $f$ 把区间 $I = \left\lbrack {-\eta ,\eta }\right\rbrack \left( {\eta > 0}\right)$ 映成区间 $J = \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ , 但 $f$ 并不连续. 但是, 对于一类比较特殊的函数——单调函数, 定理 1 的逆命题是成立的. 定理 2 设函数 $f$ 在区间 $I$ 上单调. 则 $f$ 在 $I$ 连续的充要条件为: $f\left( I\right)$ 也是一个区间.

例 10 设 $f\left( x\right) = {x}^{\nu }\left( {\nu > 0}\right) ,g\left( x\right) = {\log }_{a}x\left( {a > 1}\right)$ . 我们指出 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{\log }_{a}x}{{x}^{v}} = 0. $$ 这说明对数函数 ${\log }_{a}x$ 是比任何幂函数 ${x}^{\nu }$ 更低阶的无穷大量. 事实上,令 $y = {\log }_{a}x$ ,则有 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{\log }_{a}x}{{x}^{v}} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}\frac{y}{{\left( {a}^{v}\right) }^{y}} = 0. $$ 我们对符号 $O,o$ 的用法做一点说明. 记号 $O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ （或者 $o\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ ） 不是表示一个具体的量,而是表示量的一种类型. 式子 $\psi \left( x\right) = O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ 表示 $\psi \left( x\right)$ 是属于 $O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ 这种类型的一个量. 式中的等号“ $=$ ”应该当作属于符号“ $\in$ ”来理解. 而式子 $O\left( {\varphi \left( x\right) }\right) =$ $\psi \left( x\right)$ 就没有明确的意义. 因此,涉及符号 $O$ 或 $o$ 的 “等式”,不能像通常的等式那样将其左右两边交换. 定理 1 设 $\varphi \left( x\right)$ 和 $\psi \left( x\right)$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}\left( a\right)$ 上有定 义, $\varphi \left( x\right) \neq 0$ . 则有 $$ \psi \left( x\right) \sim \varphi \left( x\right) \Leftrightarrow \psi \left( x\right) = \varphi \left( x\right) + o\left( {\varphi \left( x\right) }\right) . $$

例 7 . II . $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} $$ 我们来证明 II. 首先, 根据定义有 $$ \lim {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n} = \mathrm{e} $$ 由此可得 $$ \lim {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n + 1} = \lim {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n} \cdot \lim \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) = \mathrm{e} $$ $$ \lim {\left( 1 + \frac{1}{n + 1}\right) }^{n} = \frac{\lim {\left( 1 + \frac{1}{n + 1}\right) }^{n + 1}}{\lim \left( {1 + \frac{1}{n + 1}}\right) } = \mathrm{e} $$ 于是,对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得 $n > N$ 时有 $$ \mathrm{e} - \varepsilon < {\left( 1 + \frac{1}{n + 1}\right) }^{n} < {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n + 1} < \mathrm{e} + \varepsilon . $$ 取 $\Delta = N + 1$ ,则当 $x > \Delta$ 时就有 $\left\lbrack x\right\rbrack > N$ ,因而有 $$ \mathrm{e} - \varepsilon < {\left( 1 + \frac{1}{\left\lbrack x\right\rbrack + 1}\right) }^{\left\lbrack x\right\rbrack } < {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} $$ $$ < {\left( 1 + \frac{1}{\left\lbrack x\right\rbrack }\right) }^{\left\lbrack x\right\rbrack + 1} < \mathrm{e} + \varepsilon . $$ 这证明了 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} $$ 由此又可得到 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( 1 - \frac{1}{y}\right) }^{-y} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( \frac{y}{y - 1}\right) }^{y} $$ $$ = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{y - 1}\right) }^{y} $$ $$ = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{y - 1}\right) }^{y - 1}\left( {1 + \frac{1}{y - 1}}\right) = \mathrm{e}. $$ 我们证明了 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} $$ 因而有 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} $$ II 的另一种表述为: II ${}^{\prime }$ . $$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}{\left( 1 + \alpha \right) }^{1/\alpha } = \mathrm{e} $$ 利用对数函数的连续性, 我们得到 $$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{\ln \left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\ln {\left( 1 + \alpha \right) }^{1/\alpha } = \ln \mathrm{e} = 1. $$ 类似地有 $$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\log }_{b}\left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = {\log }_{b}\mathrm{e} = \frac{1}{\ln b}. $$ 这样, 我们证明了: $$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{\ln \left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = 1, $$ III . $$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\log }_{b}\left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = \frac{1}{\ln b}. $$ 由此又可得到 IV. $$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha } - 1}{\alpha } = 1. $$ 事实上,令 $\beta = {\mathrm{e}}^{a} - 1$ ,我们得到 $$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha } - 1}{\alpha } = \mathop{\lim }\limits_{{\beta \rightarrow 0}}\frac{\beta }{\ln \left( {1 + \beta }\right) } = 1. $$ 类似地有 $$ \mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow 0}}\frac{{b}^{a} - 1}{a} = \ln b. $$ 最后, 我们有 V. $$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\left( 1 + \alpha \right) }^{\mu } - 1}{\alpha } = \mu . $$ 事实上 $$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\left( 1 + \alpha \right) }^{\mu } - 1}{\alpha } = \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) } - 1}{\alpha } $$ $$ = \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) } - 1}{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) } \cdot \frac{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } $$ $$ = \mu \text{ . } $$ 从上面的讨论, 我们得到涉及某些初等函数的量阶的一些公式. 这些公式在求某些极限时很有用处. 定理 3 对于极限过程 $x \rightarrow 0$ ,我们有: (1) $\sin x = x + o\left( x\right) ,\tan x = x + o\left( x\right)$ ; (2) $\cos x = 1 - \frac{1}{2}{x}^{2} + o\left( {x}^{2}\right)$ ; (3) ${\mathrm{e}}^{x} = 1 + x + o\left( x\right)$ ; (4) $\ln \left( {1 + x}\right) = x + o\left( x\right)$ ; (5) ${\left( 1 + x\right) }^{\mu } = 1 + {\mu x} + o\left( x\right)$ .