新讲 第2章 极 限 第8题
📝 题目
例 8 求 $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{c + \frac{1}{n}}}$ ,这里 $c \geq 0$ .
💡 答案解析
解 先来看 $c = 0$ 的情形,这时
$$ \lim \sqrt[n]{0 + \frac{1}{n}} = \lim \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1 $$
再来看 $c > 0$ 的情形,这时我们有
$$ \sqrt[n]{c} < \sqrt[n]{c + \frac{1}{n}} \leq \sqrt[n]{c + 1}, $$
因而 $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{c + \frac{1}{n}} = 1}$ . 综合两种情形,我们得到
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{c + \frac{1}{n}} = 1,\;\forall c \geq 0. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分情况讨论c=0和c>0
由于c≥0，需要分c=0和c>0两种情形分别求极限。
提示：注意c=0时表达式变为√[n]{1/n}，c>0时可用夹逼定理。
步骤 2/4
目标：求c=0时的极限
当c=0时，极限为lim √[n]{1/n} = lim 1/√[n]{n} = 1/1 = 1。
公式：lim √[n]{n} = 1
提示：利用已知极限lim √[n]{n}=1。
步骤 3/4
目标：求c>0时的极限
当c>0时，有不等式√[n]{c} < √[n]{c+1/n} ≤ √[n]{c+1}。由于lim √[n]{c}=1，lim √[n]{c+1}=1，由夹逼定理得原极限为1。
公式：夹逼定理：若a_n ≤ b_n ≤ c_n且lim a_n = lim c_n = L，则lim b_n = L
提示：注意√[n]{c}和√[n]{c+1}的极限均为1，因为c>0时√[n]{c}→1。
步骤 4/4
目标：综合结论
综合c=0和c>0两种情形，极限均为1，故对任意c≥0，有lim √[n]{c+1/n}=1。
提示：最终结果与c无关。
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