新讲 第8章 利用导数研究函数 第3题
📝 题目
例 3 求函数 $f\left( x\right) = \ln \left( {1 + x}\right)$ 的麦克劳林公式.
💡 答案解析
解 我们有
$$ f\left( x\right) = \ln \left( {1 + x}\right) , $$
$$ f\left( 0\right) = 0, $$
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{1}{1 + x}, $$
$$ {f}^{\prime }\left( 0\right) = 1, $$
$$ {f}^{\left( k\right) }\left( x\right) = {\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{\left( {k - 1}\right) !}{{\left( 1 + x\right) }^{k}}, $$
$$ {f}^{\left( k\right) }\left( 0\right) = {\left( -1\right) }^{k - 1}\left( {k - 1}\right) ! $$
$$ \left( {k = 2,3,\cdots }\right) \text{ . } $$
于是得出
$$ \ln \left( {1 + x}\right) = x - \frac{{x}^{2}}{2} + \frac{{x}^{3}}{3} - \cdots + {\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{x}^{n}}{n} + o\left( {x}^{n}\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出函数及其在0点的函数值
f(x) = ln(1+x), f(0) = 0
公式：f(0) = 0
步骤 2/5
目标：求一阶导数及其在0点的值
f'(x) = 1/(1+x), f'(0) = 1
公式：f'(x) = 1/(1+x)
步骤 3/5
目标：求k阶导数通项公式
f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1} (k-1)! / (1+x)^k
公式：f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{(1+x)^k}
提示：k=2,3,...
步骤 4/5
目标：求k阶导数在0点的值
f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1} (k-1)!
公式：f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1} (k-1)!
步骤 5/5
目标：代入麦克劳林公式得到展开式
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ... + (-1)^{n-1} x^n/n + o(x^n)
公式：\ln(1+x) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} + o(x^n)
提示：注意符号和阶乘约简
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