新讲 第8章 利用导数研究函数 第7题
📝 题目
例 7 在原点邻近,试将函数 $f\left( x\right) = \tan x$ 展开到 4 阶项.
💡 答案解析
解 因为奇函数的导函数是偶函数, 偶函数的导函数是奇函数, 并且任何奇函数在原点的值都是 0 , 所以容易看出
$$ f\left( 0\right) = {f}^{\prime \prime }\left( 0\right) = {f}^{\left( 4\right) }\left( 0\right) = 0. $$
尚需求出函数 $f\left( x\right) = \tan x$ 在原点的 1,3 阶导数. 计算得
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{1}{{\cos }^{2}x},\;{f}^{\prime \prime }\left( x\right) = \frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}, $$
$$ {f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) = \frac{2}{{\cos }^{2}x} + \frac{6{\sin }^{2}x}{{\cos }^{4}x}, $$
$$ {f}^{\prime }\left( 0\right) = 1,\;{f}^{\prime \prime \prime }\left( 0\right) = 2. $$
于是, 我们得到
$$ \tan x = x + \frac{1}{3}{x}^{3} + o\left( {x}^{4}\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用奇偶性简化计算
由于tan x是奇函数，其导函数具有奇偶性：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。因此，tan x的偶数阶导数在原点的值为0，即f(0)=f''(0)=f^{(4)}(0)=0。
提示：奇函数在原点的值为0，且其偶数阶导数为奇函数，故在原点为0。
步骤 2/5
目标：计算一阶导数
对f(x)=tan x求导，得到f'(x)=1/cos^2 x。代入x=0，得f'(0)=1。
公式：f'(x)=1/cos^2 x
提示：tan x的导数为sec^2 x。
步骤 3/5
目标：计算二阶导数
对f'(x)=1/cos^2 x求导，得到f''(x)=2 sin x / cos^3 x。代入x=0，得f''(0)=0。
公式：f''(x)=2 sin x / cos^3 x
提示：利用商法则或链式法则。
步骤 4/5
目标：计算三阶导数
对f''(x)=2 sin x / cos^3 x求导，得到f'''(x)=2/cos^2 x + 6 sin^2 x / cos^4 x。代入x=0，得f'''(0)=2。
公式：f'''(x)=2/cos^2 x + 6 sin^2 x / cos^4 x
提示：注意化简，代入x=0时sin0=0，cos0=1。
步骤 5/5
目标：写出泰勒展开式
根据泰勒公式，tan x = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2!)x^2 + (f'''(0)/3!)x^3 + o(x^4)。代入已知值：f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=0，f'''(0)=2，得到tan x = x + (2/6)x^3 + o(x^4) = x + (1/3)x^3 + o(x^4)。
公式：tan x = x + (1/3)x^3 + o(x^4)
提示：注意阶乘：3! = 6。
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