新讲 第8章 利用导数研究函数 第4题

教材习题

📝 题目

例 4 作函数 $y = \frac{2x}{1 + {x}^{2}}$ 的图形.

💡 答案解析

解 该函数的定义域为 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,它是一个奇函数. 因为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}y = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{2x}{1 + {x}^{2}} = 0, $$

所以图形以 $x$ 轴为水平渐近线. 计算函数的导数得

$$ {y}^{\prime } = \frac{2\left( {1 - {x}^{2}}\right) }{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{2}},\;{y}^{\prime \prime } = \frac{{4x}\left( {{x}^{2} - 3}\right) }{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{3}}. $$

我们列表讨论函数 $y = \frac{2x}{1 + {x}^{2}}$ 的升降与极值,凹凸与拐点:

\begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & (-1,0) & 0 & (0,1) & 1 & $\left( {1,\sqrt{3}}\right)$ & $\sqrt{3}$ & $\left( {\sqrt{3}, + \infty }\right)$ \\ \cline{1-8} ${y}^{\prime }$ & + & + & + & 0 & - & - & - \\ \cline{1-8} ${y}^{\prime \prime }$ & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\ \cline{1-8} $y$ & J & 0 & ↗ & 1 & ↓ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & ↘ \\ \cline{1-8} 备注 & \phantom{X} & 拐点 & \phantom{X} & 极大 & \phantom{X} & 拐点 & \phantom{X} \\ \cline{1-8} \hline \end{tabular} } \end{center}

该函数的图形描绘在图 8-7 中.

\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/039.jpg} \end{center} \hspace*{3em}

图 8-7

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：确定定义域和奇偶性
函数 y = 2x/(1+x^2) 的定义域为全体实数，因为分母 1+x^2 恒不为零。又因为 f(-x) = -2x/(1+x^2) = -f(x)，所以函数是奇函数，图形关于原点对称。
公式：f(-x) = -f(x)
提示：奇函数可简化作图，只需考虑 x≥0 部分，再对称得到另一半。
步骤 2/6
目标：求渐近线
计算极限：lim_{x→∞} y = lim_{x→∞} 2x/(1+x^2) = 0，所以 x 轴（y=0）是水平渐近线。没有垂直渐近线。
公式：lim_{x→∞} y = 0
提示：水平渐近线判断：若极限存在且有限，则有水平渐近线。
步骤 3/6
目标：求一阶导数和二阶导数
使用商的导数公式：y' = [2(1+x^2) - 2x·2x]/(1+x^2)^2 = 2(1-x^2)/(1+x^2)^2。再求二阶导：y'' = [ -4x(1+x^2)^2 - 2(1-x^2)·2(1+x^2)·2x ]/(1+x^2)^4 = 4x(x^2-3)/(1+x^2)^3。
公式：y' = 2(1-x^2)/(1+x^2)^2, y'' = 4x(x^2-3)/(1+x^2)^3
提示：求导时注意化简，二阶导可先化简一阶导再求导。
步骤 4/6
目标：求驻点和二阶导零点
令 y'=0 得 1-x^2=0，即 x=±1。令 y''=0 得 4x(x^2-3)=0，即 x=0 或 x=±√3。这些点将定义域分成区间。
公式：y'=0 ⇒ x=±1; y''=0 ⇒ x=0, ±√3
提示：注意 x=0 时 y'≠0，但可能是拐点。
步骤 5/6
目标：列表分析单调性、极值、凹凸性和拐点
由于函数是奇函数，只需考虑 x≥0 部分。列表如下： 区间 (0,1): y'>0, y''<0 → 递增且凸；x=1: y'=0, y''<0 → 极大值点，y(1)=1；区间 (1,√3): y'<0, y''<0 → 递减且凸；x=√3: y'<0, y''=0 → 拐点，y(√3)=√3/2；区间 (√3,∞): y'<0, y''>0 → 递减且凹。x=0: y'=1>0, y''=0 → 拐点，y(0)=0。
公式：y(1)=1, y(√3)=√3/2, y(0)=0
提示：注意拐点处二阶导变号，且需计算函数值。
步骤 6/6
目标：描点作图
根据上述分析，在坐标系中描出关键点：(0,0) 拐点，(1,1) 极大值点，(√3, √3/2) 拐点。利用奇函数对称性得到 x<0 部分。画出水平渐近线 y=0，并连接各点形成光滑曲线。
提示：注意曲线在 x=0 附近穿过原点，且渐近线在无穷远处接近。

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