新讲 第10章 广义积分 第2题
📝 题目
解 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{2}\left( {{x}^{m}{\mathrm{e}}^{-x}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{2 + m}{\mathrm{e}}^{-x} = 0, $$
所以积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }{x}^{m}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\;d}x}$ 收敛.
💡 答案解析
解 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{2}\left( {{x}^{m}{\mathrm{e}}^{-x}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{2 + m}{\mathrm{e}}^{-x} = 0, $$
所以积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }{x}^{m}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\;d}x}$ 收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断广义积分收敛性
考虑极限 lim_{x→+∞} x^2 (x^m e^{-x}) = lim_{x→+∞} x^{2+m} e^{-x} = 0，因为指数函数衰减快于幂函数增长。
公式：lim_{x→+∞} x^{2+m} e^{-x} = 0
提示：利用比较判别法：若存在 p>1 使得 lim_{x→+∞} x^p f(x) = 0，则 ∫_a^∞ f(x) dx 绝对收敛。
步骤 2/2
目标：应用比较判别法
取 p=2>1，由极限为0可知，存在 X>1 使得当 x>X 时，x^2 (x^m e^{-x}) < 1，即 x^m e^{-x} < 1/x^2。由于 ∫_1^∞ 1/x^2 dx 收敛，由比较判别法知 ∫_1^∞ x^m e^{-x} dx 收敛。
公式：x^m e^{-x} < 1/x^2 对于充分大的 x
提示：注意比较对象是 p-积分 ∫_1^∞ 1/x^p dx，p>1 时收敛。
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