新讲 第13章 重积分 第10题
📝 题目
例 10 计算三重积分
$$ I = {\iiint }_{D}\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}\mathrm{\;d}\left( {x,y,z}\right) , $$
其中的 $D$ 是由锥面 ${x}^{2} + {y}^{2} = {z}^{2}$ 与平面 $z = 1$ 围成的锥体 (图 13-18).
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图 13-18
💡 答案解析
解 采用柱坐标变换, 我们得到
$$ I = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}r{\int }_{r}^{1}{r}^{2}\mathrm{\;d}z $$
$$ = {2\pi }{\int }_{0}^{1}\left( {{r}^{2} - {r}^{3}}\right) \mathrm{d}r $$
$$ = \frac{\pi }{6}\text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分区域D的形状并选择坐标系
积分区域D是由锥面x^2+y^2=z^2与平面z=1围成的锥体。由于被积函数和区域具有旋转对称性，采用柱坐标变换：x=r cosθ, y=r sinθ, z=z，其中r≥0, 0≤θ≤2π。在柱坐标下，锥面方程变为r=z，平面z=1不变。区域D表示为：0≤θ≤2π, 0≤r≤1, r≤z≤1。
公式：x=r cosθ, y=r sinθ, z=z; 雅可比行列式=r
提示：注意锥面方程在柱坐标下的形式为r=z，从而确定z的下限为r。
步骤 2/5
目标：将三重积分转化为柱坐标下的累次积分
被积函数√(x^2+y^2)=r，体积元dV=r dr dθ dz。因此积分I=∫∫∫_D r * r dr dθ dz = ∫∫∫_D r^2 dr dθ dz。按先对z、再对r、最后对θ的次序积分：I=∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{1} dr ∫_{r}^{1} r^2 dz。
公式：I = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{1} dr ∫_{r}^{1} r^2 dz
提示：注意被积函数中r^2来自√(x^2+y^2)的r乘以雅可比行列式的r。
步骤 3/5
目标：计算内层积分（对z）
先对z积分：∫_{r}^{1} r^2 dz = r^2 * (1 - r)。
公式：∫_{r}^{1} r^2 dz = r^2(1-r)
提示：r^2相对于z是常数，直接积分。
步骤 4/5
目标：计算中层积分（对r）
代入后得I = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{1} r^2(1-r) dr。先计算r的积分：∫_{0}^{1} (r^2 - r^3) dr = [r^3/3 - r^4/4]_{0}^{1} = 1/3 - 1/4 = 1/12。
公式：∫_{0}^{1} (r^2 - r^3) dr = 1/12
提示：注意幂函数积分公式。
步骤 5/5
目标：计算外层积分（对θ）
最后对θ积分：∫_{0}^{2π} dθ = 2π，乘以1/12得I = 2π * 1/12 = π/6。
公式：∫_{0}^{2π} dθ = 2π
提示：θ积分独立且简单。
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