新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第2题
📝 题目
例 2 试计算
$$ I = \frac{1}{2}{\oint }_{C}x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x, $$
$$ J = \frac{1}{2}{\oint }_{E}x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x, $$
这里 $C$ 是 ${OXY}$ 平面上中心在原点半径为 $a$ 的圆周, $E$ 是以 ${OX}$ 轴和 ${OY}$ 轴为对称轴并且两半轴长度分别为 $a$ 和 $b$ 的椭圆周.
💡 答案解析
解 我们写出 $C$ 的参数方程
$$ \left\{ {\begin{array}{l} x = a\cos t, \\ y = a\sin t, \end{array}\;t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack .}\right. $$
用上面定理中的公式进行计算得
$$ I = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }\left\lbrack {a\cos t\left( {a\cos t}\right) - a\sin t\left( {-a\sin t}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}t $$
$$ = \pi {a}^{2}\text{ . } $$
同样可得
$$ J = {\pi ab}. $$
在
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算圆周C上的积分I
写出圆周C的参数方程：x = a cos t, y = a sin t, t ∈ [0, 2π]。代入积分表达式 I = (1/2) ∮_C (x dy - y dx)，计算 dx = -a sin t dt, dy = a cos t dt，则被积函数为 x dy - y dx = a cos t * a cos t dt - a sin t * (-a sin t) dt = a^2 (cos^2 t + sin^2 t) dt = a^2 dt。积分得 I = (1/2) ∫_0^{2π} a^2 dt = (1/2) * a^2 * 2π = π a^2。
公式：x = a cos t, y = a sin t; dx = -a sin t dt, dy = a cos t dt; x dy - y dx = a^2 dt
提示：注意参数方程中t从0到2π，方向为逆时针。
步骤 2/2
目标：计算椭圆周E上的积分J
写出椭圆E的参数方程：x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π]。代入积分表达式 J = (1/2) ∮_E (x dy - y dx)，计算 dx = -a sin t dt, dy = b cos t dt，则 x dy - y dx = a cos t * b cos t dt - b sin t * (-a sin t) dt = ab (cos^2 t + sin^2 t) dt = ab dt。积分得 J = (1/2) ∫_0^{2π} ab dt = (1/2) * ab * 2π = π ab。
公式：x = a cos t, y = b sin t; dx = -a sin t dt, dy = b cos t dt; x dy - y dx = ab dt
提示：椭圆参数方程中a和b分别为半长轴和半短轴，注意不要混淆。
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