新讲 第18章 数项级数 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 设 $x \in \left( {0,\pi }\right)$ . 试判别以下级数是否收敛:

(a) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \cos \frac{x}{n}}\right)$ ; (b) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{2}^{n}\sin \frac{x}{{3}^{n}}}$ .

💡 答案解析

解(a)我们有

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1 - \cos \frac{x}{n}}{\frac{1}{{n}^{2}}} = \frac{{x}^{2}}{2}. $$

因为级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{2}}}$ 收敛,所以级数

$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \cos \frac{x}{n}}\right) $$

也收敛.

(b) 我们有

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{2}^{n}\sin \frac{x}{{3}^{n}}}{{\left( \frac{2}{3}\right) }^{n}} = x. $$

因为级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( \frac{2}{3}\right) }^{n}$ 收敛,所以级数

$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{2}^{n}\sin \frac{x}{{3}^{n}} $$

也收敛.

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：判断级数 (a) 的收敛性
考虑通项 1 - cos(x/n)，当 n→∞ 时，1 - cos(x/n) ~ x^2/(2n^2)。计算极限：lim_{n→∞} (1 - cos(x/n)) / (1/n^2) = x^2/2。由于 ∑ 1/n^2 收敛，由比较判别法知原级数收敛。
公式：1 - cos θ ~ θ^2/2 (θ→0)
提示：利用等价无穷小简化通项，并与 p-级数比较。
步骤 2/2
目标：判断级数 (b) 的收敛性
考虑通项 2^n sin(x/3^n)，当 n→∞ 时，sin(x/3^n) ~ x/3^n，因此 2^n sin(x/3^n) ~ x (2/3)^n。计算极限：lim_{n→∞} [2^n sin(x/3^n)] / (2/3)^n = x。由于 ∑ (2/3)^n 是公比小于1的几何级数，收敛，故原级数收敛。
公式：sin θ ~ θ (θ→0)
提示：利用等价无穷小将通项转化为几何级数形式。

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