新讲 第2章 极 限 第13题
📝 题目
例 13 设 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列,并且 $$ {\alpha }_{n} \geq 0,\;\forall n \in \mathbb{N}. $$ 我们记 $$ {\gamma }_{n} = \sqrt[n]{{\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\cdots {\alpha }_{n}},\;n = 1,2,\cdots , $$ 则 $\left\{ {\gamma }_{n}\right\}$ 也是无穷小序列.
💡 答案解析
证明 我们有 $$ 0 \leq {\gamma }_{n} \leq {\beta }_{n},\;\forall n \in \mathbb{N}, $$ 这里 $$ {\beta }_{n} = \frac{{\alpha }_{1} + \cdots + {\alpha }_{n}}{n},\;n = 1,2,\cdots $$ 是无穷小序列
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：证明γ_n是无穷小序列
由算术-几何平均不等式，有0 ≤ γ_n = (α_1 α_2 ... α_n)^(1/n) ≤ (α_1 + α_2 + ... + α_n)/n = β_n。由于{α_n}是无穷小序列且非负，其前n项算术平均β_n也是无穷小序列（见例12）。因此，由夹逼定理，{γ_n}也是无穷小序列。
公式：γ_n = (∏_{i=1}^n α_i)^{1/n} ≤ (∑_{i=1}^n α_i)/n = β_n
提示：使用算术-几何平均不等式将几何平均与算术平均联系起来，再结合已知的算术平均的无穷小性质。
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