新讲 第4章 导 数 第7题
📝 题目
例 7 求函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}$ 和 $g\left( x\right) = {a}^{x}\left( {a > 0}\right)$ 的导数.
💡 答案解析
解 我们有
$$ \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = \frac{{\mathrm{e}}^{x + h} - {\mathrm{e}}^{x}}{h} = {\mathrm{e}}^{x}\frac{{\mathrm{e}}^{h} - 1}{h}, $$
因而
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = {\mathrm{e}}^{x}. $$
类似地可以证明
$$ {g}^{\prime }\left( x\right) = {a}^{x}\ln a. $$
以 $\mathrm{e}$ 为底的指数函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}$ 具有一个极好的性质:
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = f\left( x\right) . $$
这一事实在数学理论和自然科学的研究中有极其重要的应用.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求函数 f(x)=e^x 的导数
利用导数定义：f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h)-f(x)]/h。代入 f(x)=e^x，得 [e^(x+h)-e^x]/h = e^x (e^h-1)/h。
公式：f'(x) = lim_{h→0} e^x (e^h-1)/h
提示：关键步骤是将 e^(x+h) 分解为 e^x * e^h，然后提取公因子 e^x。
步骤 2/3
目标：计算极限 lim_{h→0} (e^h-1)/h
已知重要极限 lim_{h→0} (e^h-1)/h = 1，因此 f'(x) = e^x * 1 = e^x。
公式：lim_{h→0} (e^h-1)/h = 1
提示：这个极限是微积分中的基本极限之一，需要熟记。
步骤 3/3
目标：求函数 g(x)=a^x (a>0) 的导数
利用导数定义：g'(x) = lim_{h→0} [a^(x+h)-a^x]/h = a^x lim_{h→0} (a^h-1)/h。将 a^h 写成 e^(h ln a)，则 (a^h-1)/h = (e^(h ln a)-1)/h。令 t = h ln a，则 h = t/ln a，当 h→0 时 t→0，极限变为 ln a * lim_{t→0} (e^t-1)/t = ln a。因此 g'(x) = a^x ln a。
公式：g'(x) = a^x ln a
提示：利用指数函数与自然指数的关系 a^x = e^(x ln a)，将问题转化为已知极限。
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