新讲 第4章 导 数 第10题
📝 题目
例 10 求 ${\left( \ln \left| \frac{x - a}{x + a}\right| \right) }^{\prime }$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ {\left( \ln \left| \frac{x - a}{x + a}\right| \right) }^{\prime } = {\left( \ln \left| x - a\right| - \ln \left| x + a\right| \right) }^{\prime } $$
$$ = \frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a} $$
$$ = \frac{2a}{{x}^{2} - {a}^{2}}. $$
为了求得某些更复杂的函数的导数, 可以接连运用复合函数求导的法则若干次.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用对数性质化简函数
将 ln|(x-a)/(x+a)| 分解为 ln|x-a| - ln|x+a|
公式：ln|u/v| = ln|u| - ln|v|
提示：注意绝对值，确保定义域
步骤 2/4
目标：对化简后的函数求导
分别对 ln|x-a| 和 ln|x+a| 求导，得到 1/(x-a) 和 1/(x+a)
公式：(ln|u|)' = u'/u
提示：注意链式法则，内函数导数为1
步骤 3/4
目标：合并结果
将两个导数相减：1/(x-a) - 1/(x+a)
步骤 4/4
目标：通分化简
通分后得到 ( (x+a) - (x-a) ) / (x^2 - a^2) = 2a/(x^2 - a^2)
公式：1/(x-a) - 1/(x+a) = 2a/(x^2 - a^2)
提示：注意分母为平方差
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