新讲 第4章 导 数 第12题
📝 题目
例 12 求 ${\left( \ln \left| \sin {x}^{2}\right| \right) }^{\prime }$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ {\left( \ln \left| \sin {x}^{2}\right| \right) }^{\prime } = \frac{1}{\sin {x}^{2}}{\left( \sin {x}^{2}\right) }^{\prime } $$
$$ = \frac{1}{\sin {x}^{2}}\cos {x}^{2}{\left( {x}^{2}\right) }^{\prime } $$
$$ = {2x}\cot {x}^{2}\;\left( {x \neq \sqrt{k\pi }}\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用链式法则，外层函数为 ln|u|，内层为 sin(x^2)
设 u = sin(x^2)，则 (ln|u|)' = 1/u * u'，所以 (ln|sin(x^2)|)' = 1/sin(x^2) * (sin(x^2))'
公式：(ln|u|)' = u'/u
提示：注意绝对值不影响求导，因为 ln|u| 的导数与 ln u 相同
步骤 2/3
目标：对 sin(x^2) 求导，再次应用链式法则
(sin(x^2))' = cos(x^2) * (x^2)' = cos(x^2) * 2x
公式：(sin u)' = cos u * u'
提示：内层 x^2 的导数为 2x
步骤 3/3
目标：合并结果并化简
将前两步结果相乘：1/sin(x^2) * 2x cos(x^2) = 2x cot(x^2)
公式：cot θ = cos θ / sin θ
提示：注意定义域：sin(x^2) ≠ 0，即 x ≠ √(kπ)，k为整数
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