新讲 第2章 极 限 第2题
📝 题目
例 2 求证 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{{n}^{2} - n + 2}{3{n}^{2} + {2n} + 4} = \frac{1}{3}}$ .
💡 答案解析
证明 我们有 $$ \left| {\frac{{n}^{2} - n + 2}{3{n}^{2} + {2n} + 4} - \frac{1}{3}}\right| = \frac{{5n} - 2}{3\left( {3{n}^{2} + {2n} + 4}\right) } < \frac{5n}{9{n}^{2}} < \frac{1}{n}. $$ 只需取大于 $1/\varepsilon$ 的任何自然数作为 $N$ (例如取 $N = \left\lbrack {1/\varepsilon }\right\rbrack + 1$ ), 则当 $n > N$ 时,就有 $$ \left| {\frac{{n}^{2} - n + 2}{3{n}^{2} + {2n} + 4} - \frac{1}{3}}\right| < \frac{1}{n} < \varepsilon . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算差值的绝对值并放缩
计算表达式与1/3的差值的绝对值，并进行放缩：|(n^2 - n + 2)/(3n^2 + 2n + 4) - 1/3| = (5n - 2) / [3(3n^2 + 2n + 4)] < 5n/(9n^2) = 5/(9n) < 1/n。
公式：|(n^2 - n + 2)/(3n^2 + 2n + 4) - 1/3| = (5n - 2) / [3(3n^2 + 2n + 4)] < 5n/(9n^2) = 5/(9n) < 1/n
提示：放缩时注意分母放大、分子缩小，但这里分子5n-2 < 5n，分母3(3n^2+2n+4) > 9n^2，因此整体小于5n/(9n^2)=5/(9n)，进一步小于1/n。
步骤 2/2
目标：选取N并验证极限定义
对任意ε>0，取N = [1/ε] + 1，则当n > N时，有1/n < ε，从而|(n^2 - n + 2)/(3n^2 + 2n + 4) - 1/3| < 1/n < ε。由极限定义，原极限为1/3。
公式：N = [1/ε] + 1, 当n > N时，|... - 1/3| < 1/n < ε
提示：取整加1确保N是自然数且大于1/ε。
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