新讲 第4章 导 数 第14题
📝 题目
例 14 求 ${\left( \ln \left( x + \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}\right) \right) }^{\prime }$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ {\left( \ln \left( x + \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}\right) \right) }^{\prime } = \frac{1}{x + \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}}{\left( x + \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}\right) }^{\prime } $$
$$ = \frac{1}{x + \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}}\left( {1 + \frac{x}{\sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}}}\right) $$
$$ = \frac{1}{\sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用链式法则求导
设 u = x + sqrt(x^2 ± a^2)，则原函数为 ln(u)，其导数为 1/u * u'。
公式：(ln u)' = u'/u
提示：注意外层是对数函数，内层是 x + sqrt(x^2 ± a^2)。
步骤 2/3
目标：计算内层函数的导数
计算 u' = (x)' + (sqrt(x^2 ± a^2))' = 1 + (1/(2 sqrt(x^2 ± a^2))) * (2x) = 1 + x / sqrt(x^2 ± a^2)。
公式：(sqrt(v))' = v'/(2 sqrt(v))，其中 v = x^2 ± a^2
提示：注意 sqrt 的导数公式，以及 x^2 ± a^2 的导数为 2x。
步骤 3/3
目标：代入并化简
将 u 和 u' 代入链式法则：原导数 = (1/(x + sqrt(x^2 ± a^2))) * (1 + x / sqrt(x^2 ± a^2))。通分后分子为 (sqrt(x^2 ± a^2) + x) / sqrt(x^2 ± a^2)，与分母约分得 1 / sqrt(x^2 ± a^2)。
公式：1 + x / sqrt(x^2 ± a^2) = (sqrt(x^2 ± a^2) + x) / sqrt(x^2 ± a^2)
提示：注意分子与分母有公因子 x + sqrt(x^2 ± a^2)，可直接约去。
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