新讲 第4章 导 数 第17题
📝 题目
例 17 求 $\psi \left( y\right) = \arcsin y$ 的导数.
💡 答案解析
解 函数 $\psi \left( y\right) = \arcsin y$ 是函数 $\varphi \left( x\right) = \sin x$ 的反函数,因而
$$ {\psi }^{\prime }\left( y\right) = \frac{1}{{\varphi }^{\prime }\left( {\psi \left( y\right) }\right) } = \frac{1}{\cos \left( {\arcsin y}\right) } = \frac{1}{\sqrt{1 - {y}^{2}}}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别反函数关系
函数 ψ(y)=arcsin y 是 φ(x)=sin x 的反函数。
提示：反函数关系：若 y=sin x，则 x=arcsin y。
步骤 2/6
目标：应用反函数求导公式
根据反函数求导公式，ψ'(y)=1/φ'(ψ(y))。
公式：ψ'(y)=1/φ'(ψ(y))
提示：注意公式中分母是原函数在反函数点处的导数。
步骤 3/6
目标：计算 φ'(x)
φ(x)=sin x，所以 φ'(x)=cos x。
公式：φ'(x)=cos x
提示：sin x 的导数为 cos x。
步骤 4/6
目标：代入反函数点
将 x=ψ(y)=arcsin y 代入 φ'(x)，得 φ'(ψ(y))=cos(arcsin y)。
提示：arcsin y 是角度，其正弦值为 y。
步骤 5/6
目标：化简 cos(arcsin y)
利用恒等式 cos(arcsin y)=√(1-y²)，因为 sin²θ+cos²θ=1，且 θ=arcsin y 时 cosθ≥0。
公式：cos(arcsin y)=√(1-y²)
提示：注意 cos 在 arcsin 的值域内非负。
步骤 6/6
目标：得出最终导数
因此 ψ'(y)=1/√(1-y²)。
公式：d/dy arcsin y = 1/√(1-y²)
提示：结果定义域为 |y|<1。
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