新讲 第5章 原函数与不定积分 第4题
📝 题目
例 4 求 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2} - {a}^{2}}}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2} - {a}^{2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\left( {x - a}\right) \left( {x + a}\right) }$
$$ = \frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x - a}{x + a}\right| + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将分母因式分解
将分母 x^2 - a^2 分解为 (x - a)(x + a)，得到积分 ∫ dx/[(x - a)(x + a)]。
公式：x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)
提示：注意平方差公式的应用。
步骤 2/4
目标：应用部分分式法
设 1/[(x - a)(x + a)] = A/(x - a) + B/(x + a)，解得 A = 1/(2a)，B = -1/(2a)。因此积分化为 ∫ [1/(2a) * 1/(x - a) - 1/(2a) * 1/(x + a)] dx。
公式：1/[(x - a)(x + a)] = 1/(2a) * [1/(x - a) - 1/(x + a)]
提示：部分分式分解时，注意系数求解。
步骤 3/4
目标：分别积分
积分 ∫ 1/(x - a) dx = ln|x - a| + C1，∫ 1/(x + a) dx = ln|x + a| + C2。因此原积分 = 1/(2a) (ln|x - a| - ln|x + a|) + C。
公式：∫ 1/(x - c) dx = ln|x - c| + C
提示：注意绝对值符号，保证对数定义。
步骤 4/4
目标：合并对数结果
利用对数性质 ln|A| - ln|B| = ln|A/B|，得到最终结果 1/(2a) ln|(x - a)/(x + a)| + C。
公式：ln|A| - ln|B| = ln|A/B|
提示：合并时注意常数C的任意性。
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