新讲 第5章 原函数与不定积分 第6题
📝 题目
例 6 求 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{4} - 1}}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{4} - 1} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\left( {{x}^{2} - 1}\right) \left( {{x}^{2} + 1}\right) }$
$$ = \frac{1}{2}\left( {\int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2} - 1}-\int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2} + 1}}\right) $$
$$ = \frac{1}{4}\ln \left| \frac{x - 1}{x + 1}\right| - \frac{1}{2}\arctan x + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分解分母
将分母 x^4 - 1 因式分解为 (x^2 - 1)(x^2 + 1)。
公式：x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)
提示：注意平方差公式的应用。
步骤 2/5
目标：部分分式分解
将积分拆分为两个部分：∫ dx/(x^2 - 1) 和 ∫ dx/(x^2 + 1)，系数为 1/2。
公式：1/(x^4 - 1) = 1/2 * [1/(x^2 - 1) - 1/(x^2 + 1)]
提示：通过待定系数法或观察得到拆分结果。
步骤 3/5
目标：计算第一个积分
计算 ∫ dx/(x^2 - 1) = 1/2 ln|(x-1)/(x+1)| + C1。
公式：∫ dx/(x^2 - a^2) = 1/(2a) ln|(x-a)/(x+a)| + C
提示：这里 a=1，注意绝对值。
步骤 4/5
目标：计算第二个积分
计算 ∫ dx/(x^2 + 1) = arctan x + C2。
公式：∫ dx/(x^2 + a^2) = (1/a) arctan(x/a) + C
提示：这里 a=1。
步骤 5/5
目标：合并结果
将两个积分结果代入，得到最终答案：1/4 ln|(x-1)/(x+1)| - 1/2 arctan x + C。
公式：∫ dx/(x^4 - 1) = 1/4 ln|(x-1)/(x+1)| - 1/2 arctan x + C
提示：注意常数合并。
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