新讲 第5章 原函数与不定积分 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 求 $\displaystyle{\int x{\mathrm{e}}^{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x,\int \frac{x}{1 + {x}^{4}}\mathrm{\;d}x,\int \frac{{x}^{2}}{{\cos }^{2}{x}^{3}}\mathrm{\;d}x}$ .

💡 答案解析

解 $\displaystyle \int x{\mathrm{e}}^{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}\int {\mathrm{e}}^{{x}^{2}}\mathrm{\;d}\left( {x}^{2}\right) = \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{{x}^{2}} + C$ .

$$ \int \frac{x}{1 + {x}^{4}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}\left( {x}^{2}\right) }{1 + {\left( {x}^{2}\right) }^{2}} = \frac{1}{2}\arctan {x}^{2} + C. $$

$$ \int \frac{{x}^{2}}{{\cos }^{2}{x}^{3}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{3}\int \frac{\mathrm{d}\left( {x}^{3}\right) }{{\cos }^{2}{x}^{3}} = \frac{1}{3}\tan {x}^{3} + C. $$

更一般地, 我们有公式:

$$ \int g\left( {x}^{k}\right) {x}^{k - 1}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{k}\int g\left( {x}^{k}\right) \mathrm{d}\left( {x}^{k}\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：计算第一个积分 ∫ x e^{x^2} dx
令 u = x^2，则 du = 2x dx，所以 x dx = du/2。原积分化为 (1/2)∫ e^u du = (1/2)e^u + C = (1/2)e^{x^2} + C。
公式：∫ e^u du = e^u + C
提示：注意凑微分时，x dx 与 d(x^2) 的关系。
步骤 2/4
目标：计算第二个积分 ∫ x/(1+x^4) dx
令 u = x^2，则 du = 2x dx，所以 x dx = du/2。原积分化为 (1/2)∫ du/(1+u^2) = (1/2)arctan u + C = (1/2)arctan(x^2) + C。
公式：∫ du/(1+u^2) = arctan u + C
提示：注意分母是 1+(x^2)^2，因此凑微分后得到标准形式。
步骤 3/4
目标：计算第三个积分 ∫ x^2 / cos^2(x^3) dx
令 u = x^3，则 du = 3x^2 dx，所以 x^2 dx = du/3。原积分化为 (1/3)∫ du/cos^2 u = (1/3)tan u + C = (1/3)tan(x^3) + C。
公式：∫ du/cos^2 u = tan u + C
提示：注意 x^2 dx 与 d(x^3) 的关系。
步骤 4/4
目标：总结一般公式
对于形如 ∫ g(x^k) x^{k-1} dx 的积分，可令 u = x^k，则 du = k x^{k-1} dx，因此原积分等于 (1/k)∫ g(u) du。
公式：∫ g(x^k) x^{k-1} dx = (1/k)∫ g(u) du, 其中 u = x^k
提示：该公式适用于幂函数与复合函数的乘积，关键识别出 x^{k-1} 与 d(x^k) 的关系。

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