新讲 第2章 极 限 第5题
📝 题目
例 5 求证 $\displaystyle \lim \left( {\sqrt{{n}^{2} + n} - n}\right) = 1/2$ .
💡 答案解析
证明 我们有
$$ \sqrt{{n}^{2} + n} - n = \sqrt{n}\left( {\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}\right) $$
$$ = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}, $$
$$ \left| {\sqrt{{n}^{2} + n} - n - \frac{1}{2}}\right| = \left| {\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} - \frac{1}{2}}\right| $$
$$ = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{2\left( {\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}\right) } $$
$$ = \frac{1}{2{\left( \sqrt{n + 1} + \sqrt{n}\right) }^{2}} $$
$$ < \frac{1}{2{\left( 2\sqrt{n}\right) }^{2}} = \frac{1}{8n}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简表达式
将 √(n^2+n) - n 改写为 √n(√(n+1) - √n)，再有理化得到 √n/(√(n+1)+√n)。
公式：√(n^2+n) - n = √n(√(n+1) - √n) = √n/(√(n+1)+√n)
提示：利用平方差公式进行有理化。
步骤 2/5
目标：计算差值的绝对值
计算 |√(n^2+n) - n - 1/2|，代入化简后的表达式，通分后得到 (√(n+1)-√n)/(2(√(n+1)+√n))。
公式：|√(n^2+n) - n - 1/2| = |√n/(√(n+1)+√n) - 1/2| = (√(n+1)-√n)/(2(√(n+1)+√n))
提示：注意绝对值内表达式为正。
步骤 3/5
目标：进一步化简差值
将分子有理化，得到 1/(2(√(n+1)+√n)^2)。
公式：(√(n+1)-√n)/(2(√(n+1)+√n)) = 1/(2(√(n+1)+√n)^2)
提示：利用 (a-b)(a+b)=a^2-b^2。
步骤 4/5
目标：放缩不等式
由于 √(n+1)+√n > 2√n，所以 1/(2(√(n+1)+√n)^2) < 1/(2(2√n)^2) = 1/(8n)。
公式：1/(2(√(n+1)+√n)^2) < 1/(2(2√n)^2) = 1/(8n)
提示：放缩时注意分母变大，分数变小。
步骤 5/5
目标：应用极限定义
对任意 ε>0，取 N=[1/(8ε)]+1，则当 n>N 时，有 |√(n^2+n)-n-1/2| < 1/(8n) < ε，因此极限为 1/2。
公式：∀ε>0, ∃N=[1/(8ε)]+1, 当 n>N 时，|...-1/2| < ε
提示：利用放缩后的简单形式找 N。
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