新讲 第5章 原函数与不定积分 第2题
📝 题目
例 2 求 $\displaystyle{\int {x}^{k}\ln x\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 先设 $k \neq - 1$ ,则有
$$ \int {x}^{k}\ln x\mathrm{\;d}x = \frac{1}{k + 1}\int \ln x\mathrm{\;d}\left( {x}^{k + 1}\right) $$
$$ = \frac{1}{k + 1}{x}^{k + 1}\ln x - \frac{1}{k + 1}\int {x}^{k + 1}\mathrm{\;d}\left( {\ln x}\right) $$
$$ = \frac{1}{k + 1}{x}^{k + 1}\ln x - \frac{1}{k + 1}\int {x}^{k}\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{1}{k + 1}{x}^{k + 1}\ln x - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}{x}^{k + 1} + C. $$
对于 $k = - 1$ 的情形,我们有
$$ \int \frac{\ln x}{x}\mathrm{\;d}x = \int \ln x\mathrm{\;d}\left( {\ln x}\right) = \frac{1}{2}{\left( \ln x\right) }^{2} + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分情况讨论k是否等于-1
首先考虑k ≠ -1的情况，然后单独处理k = -1的情况。
提示：注意积分中参数k的特殊值会导致不同的积分方法。
步骤 2/8
目标：当k ≠ -1时，将积分写成微分形式
利用分部积分法，将x^k dx写成d(x^{k+1})/(k+1)，即∫ x^k ln x dx = 1/(k+1) ∫ ln x d(x^{k+1})。
公式：∫ x^k ln x dx = 1/(k+1) ∫ ln x d(x^{k+1})
提示：分部积分的关键是选择合适的u和dv，这里设u=ln x，dv=x^k dx。
步骤 3/8
目标：应用分部积分公式
使用分部积分公式∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u=ln x，dv=d(x^{k+1})/(k+1)，得到1/(k+1) x^{k+1} ln x - 1/(k+1) ∫ x^{k+1} d(ln x)。
公式：∫ ln x d(x^{k+1}) = x^{k+1} ln x - ∫ x^{k+1} d(ln x)
提示：注意d(ln x)=1/x dx。
步骤 4/8
目标：简化积分
由于d(ln x)=1/x dx，所以∫ x^{k+1} d(ln x) = ∫ x^{k+1} * (1/x) dx = ∫ x^k dx。
公式：∫ x^{k+1} d(ln x) = ∫ x^k dx
提示：这一步简化了积分形式。
步骤 5/8
目标：计算∫ x^k dx
∫ x^k dx = x^{k+1}/(k+1) + C，代入得到最终结果。
公式：∫ x^k dx = x^{k+1}/(k+1) + C
提示：注意积分常数C。
步骤 6/8
目标：写出k ≠ -1时的最终结果
将上一步结果代入，得到∫ x^k ln x dx = 1/(k+1) x^{k+1} ln x - 1/(k+1)^2 x^{k+1} + C。
公式：∫ x^k ln x dx = (x^{k+1}/(k+1)) ln x - x^{k+1}/(k+1)^2 + C
提示：结果中两项可以合并，但通常保留此形式。
步骤 7/8
目标：处理k = -1的情况
当k=-1时，积分变为∫ (ln x)/x dx。令u=ln x，则du=dx/x，积分变为∫ u du。
公式：∫ (ln x)/x dx = ∫ ln x d(ln x)
提示：换元法或直接凑微分。
步骤 8/8
目标：计算k = -1时的积分
∫ u du = u^2/2 + C = (1/2)(ln x)^2 + C。
公式：∫ ln x d(ln x) = (1/2)(ln x)^2 + C
提示：注意积分常数C。
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