方企勤 第一章 分析基础 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 求下列极限:

(1) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}x\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack}$ ; (2) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 - 0}}x\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack}$ .

💡 答案解析

解 (1) $\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack \leq \frac{1}{x} < \left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack + 1 \Rightarrow 1 - x < x\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack \leq 1\left( {\forall x > 0}\right)$

$$ \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}x\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack = 1\text{ . } $$

(2) $\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack \leq \frac{1}{x} < \left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack + 1 \Rightarrow 1 \leq x\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack < 1 - x\left( {\forall x < 0}\right)$

$$ \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 - 0}}x\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack = 1\text{ . } $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：利用取整函数的不等式性质，将极限表达式夹逼
对于 x>0，由取整函数性质有 [1/x] ≤ 1/x < [1/x]+1，两边乘以 x（正数，不等号方向不变）得 1-x < x[1/x] ≤ 1。
公式：[1/x] ≤ 1/x < [1/x]+1 ⇒ 1-x < x[1/x] ≤ 1 (x>0)
提示：注意 x>0 时乘以 x 不等号方向不变
步骤 2/4
目标：应用夹逼定理求右极限
由于 lim_{x→0+} (1-x) = 1，且 x[1/x] 被夹在 1-x 和 1 之间，由夹逼定理得 lim_{x→0+} x[1/x] = 1。
公式：lim_{x→0+} (1-x) = 1, lim_{x→0+} 1 = 1 ⇒ lim_{x→0+} x[1/x] = 1
提示：夹逼定理：若 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) 且 lim f = lim h = L，则 lim g = L
步骤 3/4
目标：处理左极限情况
对于 x<0，同样有 [1/x] ≤ 1/x < [1/x]+1，但乘以负数 x 不等号反向，得 1 ≥ x[1/x] > 1-x，即 1 ≤ x[1/x] < 1-x（注意 x<0 时 1-x > 1）。
公式：[1/x] ≤ 1/x < [1/x]+1 ⇒ 1 ≤ x[1/x] < 1-x (x<0)
提示：乘以负数不等号方向改变，注意不等式方向
步骤 4/4
目标：应用夹逼定理求左极限
由于 lim_{x→0-} (1-x) = 1，且 x[1/x] 被夹在 1 和 1-x 之间，由夹逼定理得 lim_{x→0-} x[1/x] = 1。
公式：lim_{x→0-} (1-x) = 1, lim_{x→0-} 1 = 1 ⇒ lim_{x→0-} x[1/x] = 1
提示：注意左极限时夹逼的不等式方向与右极限不同，但极限值相同

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