方企勤 第二章 一元函数微分学 第16题
📝 题目
例 16 设 $a,b,c$ 为实数. 求证: 方程 ${\mathrm{e}}^{x} = a{x}^{2} + {bx} + c$ 的根不超过三个.
💡 答案解析
证 用反证法. 假设方程有四个不同的根 ${x}_{i}\left( {i = 1,2,3,4}\right)$ ,那么函数 $f\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }}{}{\mathrm{e}}^{x} - a{x}^{2} - {bx} - c$ 有四个不同的零点 ${x}_{i}\left( {i = 1,2,3,4}\right)$ . 应用罗尔定理肯定:函数 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 有三个不同的零点; 函数 ${f}^{\prime \prime }\left( x\right)$ 有两个不同的零点; 函数 ${f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}$ 有一个零点. 然而已知函数 ${\mathrm{e}}^{x}$ 无零点, 这便产生矛盾. 这矛盾说明反证法假设不成立, 即方程至多只有三个根.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：假设方程有四个不同的根
用反证法，假设方程 e^x = a x^2 + b x + c 有四个不同的根 x1, x2, x3, x4。
提示：反证法常用于证明根的数量上限。
步骤 2/4
目标：构造函数并应用罗尔定理
定义函数 f(x) = e^x - a x^2 - b x - c，则 f(x) 有四个不同的零点。由罗尔定理，f'(x) 至少有三个不同的零点，f''(x) 至少有两个不同的零点，f'''(x) 至少有一个零点。
公式：f(x) = e^x - a x^2 - b x - c
提示：罗尔定理：若函数在区间端点值相等，则区间内存在导数为零的点。
步骤 3/4
目标：计算三阶导数并指出矛盾
计算 f'''(x) = e^x，而 e^x 恒大于零，没有零点。这与 f'''(x) 至少有一个零点矛盾。
公式：f'''(x) = e^x
提示：e^x 无零点，因此假设不成立。
步骤 4/4
目标：得出结论
矛盾说明反证法假设不成立，原方程至多只有三个根。
提示：因此方程根不超过三个。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。