方企勤 第二章 一元函数微分学 第6题
📝 题目
例 6 设正值序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 满足 $\ln {x}_{n} + \frac{1}{{x}_{n + 1}} < 1$ . 求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ 存在.
💡 答案解析
证 注意到
$$ \ln {x}_{n} + \frac{1}{{x}_{n + 1}} < 1\overset{\text{ 用例 }5}{ \leq }\ln {x}_{n} + \frac{1}{{x}_{n}} \Rightarrow {x}_{n} < {x}_{n + 1} \Rightarrow {x}_{n} \uparrow . $$
从而广义极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = a}$ 存在,且 $a > 0$ . 假设 $\displaystyle{a = + \infty}$ ,
$$ \ln {x}_{n} + \frac{1}{{x}_{n + 1}} < 1\overset{n \rightarrow \infty }{ \Rightarrow } + \infty \leq 1\text{ 矛盾 } \Rightarrow a < + \infty \text{ . } $$
又
$$ \ln {x}_{n} + \frac{1}{{x}_{n + 1}} < 1 \leq \ln {x}_{n} + \frac{1}{{x}_{n}}\overset{n \rightarrow \infty }{ \Rightarrow }\ln a + \frac{1}{a} = 1. $$
即 $a$ 取到函数 $f\left( x\right) = \ln x + \frac{1}{x}$ 的最小值,由