方企勤 第二章 一元函数微分学 第11题
📝 题目
例 11 设 $h > 0$ ,求点(0, h)到曲线 $y = {x}^{2}$ 的最短距离.
💡 答案解析
解 设点(0, h)到曲线上点 $\left( {x,{x}^{2}}\right)$ 的距离为 $d$ ,则
$$ {d}^{2} = {\left( {x}^{2} - h\right) }^{2} + {x}^{2}, $$
$$ {\left( {d}^{2}\right) }^{\prime } = {2x} - {4hx} + 4{x}^{3}\overset{\text{ 令 }}{ = }0. $$
当 $h \leq \frac{1}{2}$ 时, $x = 0 \Rightarrow d = h$ ;
当 $h > \frac{1}{2}$ 时, $x = \pm \sqrt{h - \frac{1}{2}} \Rightarrow d = \sqrt{h - \frac{1}{4}}$ .
故当 $h \leq \frac{1}{2}$ 时,点(0, h)到曲线 $y = {x}^{2}$ 的最短距离 $d = h$ ; 当 $h < \frac{1}{2}$ 时, 点(0, h)到曲线 $y = {x}^{2}$ 的最短距离 $d = \sqrt{h - \frac{1}{4}}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立距离平方函数
设点(0, h)到曲线上点(x, x^2)的距离为d，则d^2 = (x^2 - h)^2 + x^2。
公式：d^2 = (x^2 - h)^2 + x^2
提示：距离平方避免开方，简化求导。
步骤 2/5
目标：对x求导并令导数为0
对d^2关于x求导： (d^2)' = 2(x^2 - h)*2x + 2x = 4x(x^2 - h) + 2x = 4x^3 - 4hx + 2x = 2x(2x^2 - 2h + 1)。令其等于0。
公式：(d^2)' = 2x(2x^2 - 2h + 1) = 0
提示：注意链式法则，化简因式分解。
步骤 3/5
目标：解方程得到临界点
由2x(2x^2 - 2h + 1)=0得x=0或2x^2 - 2h + 1=0，即x^2 = h - 1/2。当h ≤ 1/2时，只有x=0；当h > 1/2时，还有x=±√(h-1/2)。
公式：x=0 或 x^2 = h - 1/2
提示：注意h的范围影响临界点个数。
步骤 4/5
目标：计算各临界点对应的距离
当x=0时，d^2 = (0-h)^2 + 0 = h^2，所以d = |h| = h（h>0）。当x=±√(h-1/2)时，x^2 = h-1/2，代入d^2：d^2 = (h-1/2 - h)^2 + (h-1/2) = (-1/2)^2 + h - 1/2 = 1/4 + h - 1/2 = h - 1/4，所以d = √(h - 1/4)。
公式：d = h 或 d = √(h - 1/4)
提示：代入时注意简化。
步骤 5/5
目标：比较距离大小，确定最短距离
当h ≤ 1/2时，只有x=0一个临界点，且d=h；当h > 1/2时，比较h和√(h-1/4)：由于h > 1/2，h^2 > h - 1/4，所以h > √(h-1/4)，因此最短距离为√(h-1/4)。
公式：最短距离：h ≤ 1/2时d=h；h > 1/2时d=√(h-1/4)
提示：注意h=1/2时，两个距离相等。
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