方企勤 第三章 一元函数积分学 第22题

教材习题

📝 题目

例 22 问下列积分是否可积(即原函数是初等函数):

(1) $\displaystyle{\int \sqrt{1 + \frac{1}{x}}\mathrm{\;d}x}$ ; (2) $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 + {\sin }^{2}x}}}$ .

💡 答案解析

解 (1) 原式 $= \int {x}^{-\frac{1}{2}}{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}}\mathrm{\;d}x$ ,由此可见,

$$ p = \frac{1}{2},m = - \frac{1}{2},n = 2 \Rightarrow \frac{m + 1}{n} = \frac{1}{4},p + \frac{m + 1}{n} = \frac{3}{4}. $$

由于 $p,\frac{m + 1}{n},p + \frac{m + 1}{n}$ 三个量都非整数,从而原式不可积. (2)原式 $\displaystyle{= \int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - {\sin }^{4}x}} = \int \frac{\mathrm{d}\sin x}{\sqrt{1 - {\sin }^{4}x}}}$

$$ \overset{t = \sin x}{ = }\int {\left( 1 - {t}^{4}\right) }^{-\frac{1}{2}}\mathrm{\;d}x, $$

由此可见

$$ p = - \frac{1}{2},m = 0,n = 4 \Rightarrow \frac{m + 1}{n} = \frac{1}{4},p + \frac{m + 1}{n} = - \frac{1}{4}. $$

由于 $p,\frac{m + 1}{n},p + \frac{m + 1}{n}$ 三个量都非整数,从而原式不可积.

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：判断积分(1)是否可积
将原式化为标准形式：∫√(1+1/x) dx = ∫ x^{-1/2} (1+x^2)^{1/2} dx，其中p=1/2, m=-1/2, n=2。计算(m+1)/n = ( -1/2+1)/2 = 1/4，p+(m+1)/n = 1/2+1/4=3/4。由于p, (m+1)/n, p+(m+1)/n均非整数，根据切比雪夫定理，原式不可积。
公式：∫ x^m (a+bx^n)^p dx 可积当且仅当 p, (m+1)/n, p+(m+1)/n 中至少有一个为整数
提示：注意将根号内表达式化为标准形式，并正确识别参数p,m,n。
步骤 2/2
目标：判断积分(2)是否可积
将原式变形：∫ dx/√(1+sin^2 x) = ∫ cos x dx/√(1-sin^4 x) = ∫ d(sin x)/√(1-sin^4 x)。令t=sin x，得∫ (1-t^4)^{-1/2} dt，其中p=-1/2, m=0, n=4。计算(m+1)/n = (0+1)/4 = 1/4，p+(m+1)/n = -1/2+1/4 = -1/4。由于p, (m+1)/n, p+(m+1)/n均非整数，根据切比雪夫定理，原式不可积。
公式：∫ x^m (a+bx^n)^p dx 可积当且仅当 p, (m+1)/n, p+(m+1)/n 中至少有一个为整数
提示：利用三角恒等式将积分化为标准形式，注意代换后变量的变化。

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