方企勤 第四章 级 数 第1题
📝 题目
例 1 将函数 $f\left( x\right) = x\left( {-\pi \leq x \leq \pi }\right)$ 展开为傅氏级数.
💡 答案解析
解 因为 $f\left( x\right)$ 是奇函数,所以 ${a}_{n} = 0\left( {n \geq 0}\right)$ ,
$$ {b}_{n} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }x\sin {nx}\mathrm{\;d}x = - \frac{2}{n\pi }{\left\lbrack x\cos nx\right\rbrack }_{0}^{\pi } + \frac{2}{nx}{\int }_{0}^{\pi }\cos {nx}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{2}{n}. $$
因为 $f\left( x\right)$ 逐段单调,所以
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{2}{n}\sin {nx} = \left\{ \begin{array}{ll} x, & - \pi < x < \pi , \\ 0, & x = - \pi ,\pi . \end{array}\right. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断函数奇偶性
由于 f(x)=x 在 [-π, π] 上是奇函数，因此傅里叶级数中的余弦项系数 a_n = 0。
公式：a_n = 0 (n ≥ 0)
提示：奇函数的傅里叶级数只包含正弦项。
步骤 2/3
目标：计算正弦项系数 b_n
利用公式 b_n = (2/π) ∫_0^π f(x) sin(nx) dx，代入 f(x)=x，得到 b_n = (2/π) ∫_0^π x sin(nx) dx。使用分部积分法：令 u=x, dv=sin(nx)dx，则 du=dx, v=-cos(nx)/n。计算得 b_n = - (2/(nπ)) [x cos(nx)]_0^π + (2/(nπ)) ∫_0^π cos(nx) dx。代入上下限，[x cos(nx)]_0^π = π cos(nπ) = π (-1)^n，而 ∫_0^π cos(nx) dx = 0。因此 b_n = - (2/(nπ)) π (-1)^n = (-1)^{n-1} * 2/n。
公式：b_n = (2/π) ∫_0^π x sin(nx) dx = (-1)^{n-1} * 2/n
提示：注意分部积分时符号处理，以及 cos(nπ)=(-1)^n。
步骤 3/3
目标：写出傅里叶级数并讨论收敛性
由于 f(x) 在 [-π, π] 上逐段单调，傅里叶级数收敛到 f(x) 在连续点，在间断点 x=±π 处收敛到左右极限的平均值 (f(-π+)+f(π-))/2 = (-π+π)/2 = 0。因此级数表示为：∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} (2/n) sin(nx) = x, -π < x < π；在 x=±π 处为 0。
公式：∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} (2/n) sin(nx) = { x, -π < x < π; 0, x=±π }
提示：注意端点处的收敛值。
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