方企勤 第六章 多元函数积分学 第1题
📝 题目
例 1 计算二重积分 $I = {\iint }_{\Omega }\left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y$ ,其中 $\Omega$ 是由双纽线
$$ {\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{2} = {a}^{2}\left( {{x}^{2} - {y}^{2}}\right) \left( {x \geq 0}\right) $$
围成的区域.
💡 答案解析
解 令 $x = r\cos \theta ,y = r\sin \theta$ . 双纽线方程
$$ r = a\sqrt{\cos {2\theta }}\;\left( {-\pi /4 \leq \theta \leq \pi /4}\right) \text{ (图 6.5). } $$
由于区域和被积函数关于 $x$ 轴对称,故
$$ I = 2{\int }_{0}^{\frac{\pi }{4}}\mathrm{\;d}\theta {\int }_{0}^{a\sqrt{\cos {2\theta }}}{r}^{2} \cdot r\mathrm{\;d}r = \frac{{a}^{4}}{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^{2}{2\theta }\mathrm{d}\theta $$
$$ = \frac{{a}^{4}}{4}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}\theta \mathrm{d}\theta = \frac{\pi }{16}{a}^{4}. $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/044.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6.5
评注 对 $r$ 的内层积分,积分限可以是 $\theta$ 的函数,这表明沿变线段积分; 对 $\theta$ 的外层积分,积分限一定是常数,表明变线段转过的角度,使它正好得出求积区域 $\Omega$ .