方企勤 第六章 多元函数积分学 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 设 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,证明:

(1) $\displaystyle{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin {\varphi f}\left( {\sin \theta \sin \varphi }\right) \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi = \frac{\pi }{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin {\varphi f}\left( {\cos \varphi }\right) \mathrm{d}\varphi$ ;

(2)计算重积分 $\displaystyle{I = {\iint }_{0 \leq \frac{\theta }{\varphi } \leq \frac{\pi }{2}}\sin \varphi {\mathrm{e}}^{\sin \theta \sin \varphi }\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi}$ .

💡 答案解析

证 (1) 令 $S$ 为 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = 1,x \geq 0,y \geq 0,z \geq 0$ . 由对称性显然可得

$$ {\iint }_{S}f\left( y\right) \mathrm{d}S = {\iint }_{S}f\left( z\right) \mathrm{d}S, $$

而

$$ {\iint }_{S}f\left( y\right) \mathrm{d}S = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f\left( {\sin \theta \sin \varphi }\right) \sin \varphi \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi , $$

$$ {\iint }_{S}f\left( z\right) \mathrm{d}S = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f\left( {\cos \varphi }\right) \sin \varphi \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi $$

$$ = \frac{\pi }{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin {\varphi f}\left( {\cos \varphi }\right) \mathrm{d}\varphi , $$

所以

$$ {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin {\varphi f}\left( {\sin \theta \sin \varphi }\right) \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi = \frac{\pi }{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin {\varphi f}\left( {\cos \varphi }\right) \mathrm{d}\varphi . $$

(2)利用(1)的结果得

$$ I = {\iint }_{0 \leq \frac{\theta }{\varphi } \leq \frac{\pi }{2}}\sin \varphi {\mathrm{e}}^{\sin \theta \sin \varphi }\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi = \frac{\pi }{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin \varphi {\mathrm{e}}^{\cos \varphi }\mathrm{d}\varphi $$

$$ = - {\left. \frac{\pi }{2}{\mathrm{e}}^{\cos \varphi }\right| }_{0}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{2}\left( {\mathrm{e} - 1}\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明等式(1)
考虑单位球面在第一卦限的部分 S: x^2+y^2+z^2=1, x≥0, y≥0, z≥0。由对称性，函数 f(y) 和 f(z) 在 S 上的曲面积分相等。分别计算这两个积分，并利用球面坐标参数化：x=cosθ, y=sinθ sinφ, z=cosφ, 其中 θ∈[0,π/2], φ∈[0,π/2], 面积元 dS = sinφ dθ dφ。于是 ∫∫_S f(y) dS = ∫_0^{π/2}∫_0^{π/2} f(sinθ sinφ) sinφ dθ dφ，∫∫_S f(z) dS = ∫_0^{π/2}∫_0^{π/2} f(cosφ) sinφ dθ dφ = (π/2)∫_0^{π/2} sinφ f(cosφ) dφ。由两者相等即得结论。
公式：dS = sinφ dθ dφ; ∫∫_S f(y) dS = ∫∫_S f(z) dS
提示：注意对称性：在球面上交换 y 和 z 坐标不改变区域。
步骤 2/2
目标：计算重积分 I
由(1)的结果，令 f(t)=e^t，则 I = ∫∫_{0≤θ≤π/2, 0≤φ≤π/2} sinφ e^{sinθ sinφ} dθ dφ = (π/2)∫_0^{π/2} sinφ e^{cosφ} dφ。计算定积分：∫ sinφ e^{cosφ} dφ = -e^{cosφ} + C，所以 I = (π/2)[-e^{cosφ}]_0^{π/2} = (π/2)(-e^0 + e^1) = (π/2)(e-1)。
公式：∫ sinφ e^{cosφ} dφ = -e^{cosφ} + C
提示：注意积分限：φ从0到π/2，cosφ从1到0。

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