方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.3题
📝 题目
3. 3.1 (1) 因为 $f\left( x\right)$ 有界,并且只有一个不连续点 $x = 0$ ,所以 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 上可积.
(2)由微积分基本定理,
$$ {\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {x}^{2}\sin \frac{1}{x} + \sin
💡 答案解析
3. 3.1 (1) 因为 $f\left( x\right)$ 有界,并且只有一个不连续点 $x = 0$ ,所以 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 上可积.
(2)由微积分基本定理,
$$ {\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {x}^{2}\sin \frac{1}{x} + \sin
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明函数在区间上有界且仅有一个不连续点，从而可积
函数 f(x) 在 [-1,1] 上有界，且只有 x=0 一个不连续点，因此满足黎曼可积的条件，故 f(x) 在 [-1,1] 上可积。
提示：有界且只有有限个不连续点的函数在闭区间上可积。
步骤 2/2
目标：应用微积分基本定理计算积分
由微积分基本定理，∫_{-1}^{x} f(t) dt = x^2 sin(1/x) + sin(1)？注意原题答案不完整，但根据常见习题，通常结果为 x^2 sin(1/x) + 常数。
公式：∫_{-1}^{x} f(t) dt = x^2 sin(1/x) + sin(1)
提示：微积分基本定理：若 F'(x)=f(x)，则 ∫_a^x f(t) dt = F(x)-F(a)。
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