方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.3题

**题目**： 设 $$ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot \mathbf{1}_{[a_n, +\infty)}(x), & x \ge 0, \end{cases} $$ 其中 $\{a_n\}$ 是 $\\displaystyle{[0,+\infty)}$ 中一列数。求证：在 $\\displaystyle{[0,+\infty)}$ 上，$F(x)$ 单调上升且右连续。

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### 第一步：明确函数定义与符号含义

函数 $F(x)$ 在 $x \ge 0$ 时定义为 $$ F(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \cdot \mathbf{1}_{[a_n, +\infty)}(x), $$ 其中 $\\displaystyle{\mathbf{1}_{[a_n, +\infty)}(x)}$ 是指示函数：当 $x \ge a_n$ 时取值为 1，否则为 0。

因此，对每个固定的 $x$，$F(x)$ 是所有满足 $a_n \le x$ 的项 $\displaystyle \frac{1}{2^n}$ 之和。

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### 第二步：证明单调上升

取 $0 \le x_1 < x_2$。 对于任意 $n$，若 $a_n \le x_1$，则必然 $a_n \le x_2$，所以 $$ \mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x_1) \le \mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x_2). $$ 于是逐项比较级数： $$ F(x_1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x_1) \le \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x_2) = F(x_2). $$ 因此 $F$ 在 $\\displaystyle{[0,+\infty)}$ 上单调上升（非减）。

**关键说明**：这里用到了级数的每一项都是非负的，且指示函数关于 $x$ 单调不减。

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### 第三步：证明右连续

要证对任意 $x_0 \ge 0$，有 $$ \lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0). $$

固定 $x_0$。对任意 $x > x_0$，考虑差值： $$ F(x) - F(x_0) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \left[ \mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x) - \mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x_0) \right]. $$

注意： - 若 $a_n \le x_0$，则两项都是 1，差为 0； - 若 $a_n > x$，则两项都是 0，差为 0； - 若 $x_0 < a_n \le x$，则差为 1。

因此： $$ F(x) - F(x_0) = \sum_{n: \, x_0 < a_n \le x} \frac{1}{2^n}. $$

这是一个收敛级数的尾部（因为 $\\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty 1/2^n = 1}$），且当 $x \to x_0^+$ 时，集合 $\{n: x_0 < a_n \le x\}$ 会缩小到空集（可能包含那些 $a_n = x_0$ 的点？注意这里 $a_n > x_0$ 严格大于，所以当 $x$ 充分接近 $x_0$ 时，没有 $a_n$ 落在 $(x_0, x]$ 内，除非 $x_0$ 本身是某个 $a_n$，但这里条件是 $a_n > x_0$，所以不会包含等于的情况）。

更严格地：对任意 $\varepsilon > 0$，因为级数 $\\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty 1/2^n}$ 收敛，存在 $N$ 使得 $\\displaystyle{\sum_{n=N+1}^\infty 1/2^n < \varepsilon/2}$。 对于 $n \le N$，只有有限个 $a_n$，所以存在 $\delta > 0$ 使得当 $x \in (x_0, x_0+\delta)$ 时，这些 $a_n$ 都不落在 $(x_0, x]$ 内（除非某个 $a_n = x_0$，但此时 $a_n \le x_0$，差为 0，不影响）。于是： $$ F(x)-F(x_0) \le \sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{2^n} < \varepsilon. $$ 因此 $\\displaystyle{\lim_{x\to x_0^+} F(x) = F(x_0)}$。

**关键说明**：右连续性的证明依赖于级数的一致收敛性（实际上由 Weierstrass M-判别法，因为 $\displaystyle \frac{1}{2^n}$ 是常数控制），从而可以逐项取极限，或者直接用尾估计。

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### 结论

$F(x)$ 在 $\\displaystyle{[0,+\infty)}$ 上单调上升且右连续。证毕。