方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.5题
📝 题目
3.5.4 (1) 收敛,非绝对收敛；(2)收敛,非绝对收敛；
(3)收敛,非绝对收敛；(4)绝对收敛.
💡 答案解析
3.5.4 (1) 收敛,非绝对收敛；(2)收敛,非绝对收敛；
(3)收敛,非绝对收敛；(4)绝对收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断级数(1)的收敛性和绝对收敛性
对于级数(1)，考虑通项形式，可能为交错级数。应用莱布尼茨判别法判断条件收敛，再取绝对值后比较或使用根值/比值判别法判断非绝对收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若a_n单调递减趋于0，则交错级数∑(-1)^(n-1)a_n收敛。
提示：注意验证单调递减和趋于0的条件。
步骤 2/4
目标：判断级数(2)的收敛性和绝对收敛性
对于级数(2)，类似地，先判断是否为交错级数，用莱布尼茨判别法得条件收敛，再取绝对值后判断发散。
公式：比较判别法：若|a_n|≥b_n且∑b_n发散，则∑|a_n|发散。
提示：取绝对值后可与p级数比较。
步骤 3/4
目标：判断级数(3)的收敛性和绝对收敛性
对于级数(3)，同样为交错级数，莱布尼茨判别法得收敛，绝对值级数发散，故条件收敛。
公式：莱布尼茨判别法。
提示：注意通项是否单调递减。
步骤 4/4
目标：判断级数(4)的收敛性和绝对收敛性
对于级数(4)，取绝对值后，通项可能为p级数或可比较，用比较判别法或根值判别法得绝对值级数收敛，故绝对收敛。
公式：比较判别法：若|a_n|≤c_n且∑c_n收敛，则∑|a_n|收敛。
提示：寻找合适的比较级数。
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