方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.3 设 $\mathbf{x} \in {\mathbf{R}}^{m}$ 为常向量, $c$ 为常数,证明:
(1) $H = \left\{ {\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in {\mathbf{R}}^{m},\mathbf{x} \cdot \mathbf{z} < c}\right\}$ 是开集；
(2) $\left\{ {x \mid x \in {\mathbb{R}}^{m},x \cdot z \geq c}\right\}$ 是闭集.
💡 答案解析
5. 1.1 平行四边形两对角线长度平方和等于四边长度平方之和.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明H是开集
任取x0∈H，则x0·z < c。令δ = c - x0·z > 0。构造邻域B(x0, ε)，其中ε = δ/(2||z||)（若z=0则H=R^m，显然开）。对任意y∈B(x0, ε)，有|y·z - x0·z| ≤ ||y-x0||·||z|| < ε·||z|| = δ/2，故y·z < x0·z + δ/2 = c - δ/2 < c，所以y∈H。因此H是开集。
公式：|y·z - x0·z| ≤ ||y-x0||·||z||
提示：利用内积的连续性和Cauchy-Schwarz不等式
步骤 2/2
目标：证明{x | x·z ≥ c}是闭集
令F = {x | x·z ≥ c}。考虑其补集F^c = {x | x·z < c}。由(1)知F^c是开集，故F是闭集。
提示：利用开集与闭集的对偶关系
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