方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.5 证明:
(1) ${\left( A \cup B\right) }^{ \circ } \supset {A}^{ \circ } \cup {B}^{ \circ }$ ； (2) $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}$ .
💡 答案解析
5. 1.1 平行四边形两对角线长度平方和等于四边长度平方之和.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明 (1) (A∪B)° ⊃ A° ∪ B°
任取 x ∈ A° ∪ B°，则 x ∈ A° 或 x ∈ B°。若 x ∈ A°，则存在开集 U 使得 x ∈ U ⊂ A，从而 U ⊂ A∪B，故 x ∈ (A∪B)°。同理若 x ∈ B°，也有 x ∈ (A∪B)°。因此 A° ∪ B° ⊂ (A∪B)°，即 (A∪B)° ⊃ A° ∪ B°。
公式：内点定义：x ∈ A° 当且仅当存在开集 U 使得 x ∈ U ⊂ A。
提示：注意内点定义中开集的存在性，并利用并集的性质。
步骤 2/2
目标：证明 (2) A∩B 的闭包 ⊂ A 的闭包 ∪ B 的闭包
任取 x ∈ A∩B 的闭包，则 x 的每个邻域都与 A∩B 相交。因此每个邻域都与 A 相交且与 B 相交，故 x ∈ A 的闭包且 x ∈ B 的闭包，从而 x ∈ A 的闭包 ∪ B 的闭包。因此 A∩B 的闭包 ⊂ A 的闭包 ∪ B 的闭包。
公式：闭包定义：x ∈ A 的闭包当且仅当 x 的每个邻域都与 A 相交。
提示：注意闭包定义中邻域与集合相交的条件，并利用交集的性质。
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