kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第270题
📝 题目
### 第270题
假设随机变量 $X$ 在 $[-1,1]$ 上服从均匀分布，$a$ 是区间 $[-1,1]$ 上的一个定点，$Y$ 为点 $X$ 到 $a$ 的距离，当 $a=$ $\_\_\_\_$时，随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：$X\sim U[-1,1]$，密度$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}$，$Y=|X-a|$。步骤2：$E(X)=0$，$\displaystyle E(Y)=\int_{-1}^1 \frac{1}{2}|x-a|dx$，$\displaystyle E(XY)=\int_{-1}^1 \frac{1}{2}x|x-a|dx$。步骤3：不相关即$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY)=0$。步骤4：计算$\displaystyle E(XY)=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 x|x-a|dx$，被积函数为奇函数当且仅当$a=0$时成立，此时积分值为0。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定随机变量的分布和表达式
由题意，$X$ 在 $[-1,1]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f(x)=\frac{1}{2}, \ x\in[-1,1]$。$Y$ 为点 $X$ 到定点 $a$ 的距离，即 $Y=|X-a|$，其中 $a\in[-1,1]$。
公式：$$f(x)=\frac{1}{2}, \ x\in[-1,1]$$
提示：注意Y是距离，需用绝对值表示
步骤 2/6
目标：计算期望 $E(X)$ 和 $E(Y)$
由于 $X$ 的分布关于原点对称，$E(X)=0$。
$E(Y)=\int_{-1}^1 \frac{1}{2}|x-a|dx$，该积分依赖于 $a$ 的值。
公式：$$E(Y)=\int_{-1}^1 \frac{1}{2}|x-a|dx$$
提示：注意绝对值分段处理
步骤 3/6
目标：计算协方差并利用不相关条件
协方差 $\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。由于 $E(X)=0$，故 $\text{Cov}(X,Y)=E(XY)$。不相关要求 $\text{Cov}(X,Y)=0$，即 $E(XY)=0$。
公式：$$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$
提示：注意E(X)=0简化计算
步骤 4/6
目标：计算 $E(XY)$ 的表达式
$E(XY)=\int_{-1}^1 \frac{1}{2}x|x-a|dx$。令 $I(a)=\int_{-1}^1 x|x-a|dx$，则 $E(XY)=\frac{1}{2}I(a)$。
公式：$$E(XY)=\int_{-1}^1 \frac{1}{2}x|x-a|dx$$
提示：注意积分区间分段处理
步骤 5/6
目标：分析被积函数的奇偶性
考虑 $I(a)=\int_{-1}^1 x|x-a|dx$。当 $a=0$ 时，被积函数 $x|x|$ 是奇函数（因为 $x|x|$ 满足 $(-x)|-x|=-x|x|$），在对称区间上积分为 $0$。当 $a\neq 0$ 时，被积函数非奇非偶，积分一般不为 $0$。因此，$I(a)=0$ 当且仅当 $a=0$。
公式：$$\int_{-1}^1 x|x-a|dx$$
提示：注意奇函数在对称区间积分为0
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $E(XY)=0$ 得 $a=0$。因此，当 $a=0$ 时，随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关。
**答案**：$0$
提示：注意距离Y的定义与期望计算
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