kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第271题
📝 题目
### 第271题
已知随机变量 $X$ 在 $(1,2)$ 上服从均匀分布，在 $X=x(1 | 建议荅题时问 | $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ | | | | | | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 管甄域 | | －组䊗 | | | | |
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{2}$ **解析**：步骤1：$X\sim U(1,2)$，密度$f_X(x)=1$，$1
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定X的分布
随机变量 $X$ 在 $(1,2)$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f_X(x) = 1$，其中 $1 < x < 2$。
公式：$$f_X(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a < x < b$$
提示：注意均匀分布区间长度
步骤 2/4
目标：确定条件分布与条件期望
在 $X = x$ 的条件下，$Y$ 服从参数为 $x$ 的指数分布，即 $Y|X=x \sim \text{Exp}(x)$，其条件期望为 $E(Y|X=x) = \frac{1}{x}$。
公式：$$E(Y|X=x) = \frac{1}{x}$$
提示：注意指数分布参数与期望的关系
步骤 3/4
目标：利用重期望公式计算E(XY)
由重期望公式 $E(XY) = E[XE(Y|X)]$，代入条件期望得 $E(XY) = E\left[X \cdot \frac{1}{X}\right] = E(1) = 1$。
公式：$$E(XY) = E[XE(Y|X)]$$
提示：注意条件期望的代入计算
步骤 4/4
目标：验证积分计算
直接积分验证：$E(XY) = \int_1^2 \int_0^\infty xy \cdot x e^{-xy} \, dy \, dx = \int_1^2 x \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int_1^2 1 \, dx = 1$。
公式：$$E(XY) = \int_1^2 \int_0^\infty xy \cdot x e^{-xy} \, dy \, dx = \int_1^2 x \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int_1^2 1 \, dx = 1$$
提示：注意条件密度函数形式，先对y积分
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