kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第272题
📝 题目
### 第272题
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从的分布及参数为 $\displaystyle N\left(0,0 ; 1,1 ; \frac{1}{2}\right)$ ，则二维随机变量 $(X+Y, X-Y)$ 服从的分布及参数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$N(0,0;2,2;0)$ **解析**：步骤1：$\displaystyle (X,Y)\sim N(0,0;1,1;\frac{1}{2})$，则$X+Y$和$X-Y$均为正态。步骤2：$E(X+Y)=0$，$E(X-Y)=0$。步骤3：$\displaystyle D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y)=1+1+2\times\frac{1}{2}=3$？$\displaystyle \text{Cov}(X,Y)=\rho\sqrt{DX}\sqrt{DY}=\frac{1}{2}$，故$D(X+Y)=1+1+1=3$，$D(X-Y)=1+1-1=1$。步骤4：$\text{Cov}(X+Y, X-Y)=D(X)-D(Y)=0$，故相关系数为0。所以分布为$N(0,0;3,1;0)$？但题目参数格式为$N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$，故答案为$N(0,0;3,1;0)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定联合正态性与期望
由题意，$(X,Y)\sim N(0,0;1,1;\frac{1}{2})$，即$X$和$Y$服从二维正态分布，且$E(X)=0$，$E(Y)=0$，$D(X)=1$，$D(Y)=1$，相关系数$\rho=\frac{1}{2}$。由于$(X,Y)$是二维正态，其线性组合$(X+Y, X-Y)$也服从二维正态分布。计算期望：$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0+0=0$，$E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0-0=0$。
提示：注意二维正态线性组合仍正态
步骤 2/4
目标：计算方差
首先计算协方差：$\text{Cov}(X,Y)=\rho\sqrt{D(X)D(Y)}=\frac{1}{2}\times\sqrt{1\times1}=\frac{1}{2}$。
方差$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y)=1+1+2\times\frac{1}{2}=1+1+1=3$。
方差$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\text{Cov}(X,Y)=1+1-2\times\frac{1}{2}=1+1-1=1$。
公式：$$\text{Cov}(X,Y)=\rho\sqrt{D(X)D(Y)}$$ $$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2\text{Cov}(X,Y)$$
提示：注意协方差符号对方差的影响
步骤 3/4
目标：计算协方差与相关系数
协方差$\text{Cov}(X+Y, X-Y)=\text{Cov}(X,X)-\text{Cov}(X,Y)+\text{Cov}(Y,X)-\text{Cov}(Y,Y)=D(X)-D(Y)=1-1=0$。
相关系数$\rho_{X+Y, X-Y}=\frac{\text{Cov}(X+Y, X-Y)}{\sqrt{D(X+Y)D(X-Y)}}=\frac{0}{\sqrt{3\times1}}=0$。
公式：$$\text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Cov}(X,X) - \text{Cov}(X,Y) + \text{Cov}(Y,X) - \text{Cov}(Y,Y)$$
提示：注意协方差线性性质展开时符号
步骤 4/4
目标：得出最终分布
因此，$(X+Y, X-Y)\sim N(0,0;3,1;0)$。
提示：注意协方差为0时独立
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