kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第273题
📝 题目
### 第273题
设随机变量 $X \sim B(n, p)$ ，且 $E(X)=3.2, D(X)=0.64$ ，则 $P\{X \neq 0\}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1-0.2^4$ **解析**：步骤1：$X\sim B(n,p)$，$E(X)=np=3.2$，$D(X)=np(1-p)=0.64$。步骤2：解得$p=0.8$，$n=4$。步骤3：$P\{X\neq0\}=1-P\{X=0\}=1-(1-p)^n=1-0.2^4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用二项分布的期望和方差公式
对于随机变量 $X \sim B(n, p)$，有 $E(X) = np$，$D(X) = np(1-p)$。由已知条件 $E(X)=3.2$，$D(X)=0.64$，可得方程组：
$$\begin{cases} np = 3.2 \\ np(1-p) = 0.64 \end{cases}$$
公式：$$E(X)=np, \quad D(X)=np(1-p)$$
提示：注意二项分布方差公式中的(1-p)
步骤 2/4
目标：求解参数 $p$ 和 $n$
将第一个方程代入第二个方程：$3.2(1-p) = 0.64$，解得 $1-p = 0.2$，即 $p = 0.8$。再代入 $np = 3.2$，得 $n \times 0.8 = 3.2$，解得 $n = 4$。
公式：$$E(X)=np, \quad D(X)=np(1-p)$$
提示：注意二项分布的期望和方差公式
步骤 3/4
目标：计算 $P\{X \neq 0\}$
事件 $\{X \neq 0\}$ 的对立事件是 $\{X = 0\}$，因此 $P\{X \neq 0\} = 1 - P\{X = 0\}$。对于二项分布，$P\{X = 0\} = (1-p)^n$，代入 $p=0.8$，$n=4$，得 $P\{X = 0\} = (1-0.8)^4 = 0.2^4$。
公式：$$P\{X \neq 0\} = 1 - P\{X = 0\} = 1 - (1-p)^n$$
提示：注意对立事件转换
步骤 4/4
目标：得出最终结果
所以 $P\{X \neq 0\} = 1 - 0.2^4$。
公式：$$P\{X \neq 0\} = 1 - P\{X = 0\} = 1 - (1-p)^n$$
提示：注意二项分布参数n和p的求解
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