kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第274题
📝 题目
### 第274题
设随机变量列 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 相互独立且同分布，则 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 服从辛钦大数定律，只要随机变量 $X_{i}(i=1,2, \cdots, n, \cdots)$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：具有相同的数学期望 **解析**：步骤1：辛钦大数定律要求随机变量独立同分布且数学期望存在。步骤2：故只需$X_i$具有相同的数学期望（即期望存在且有限）。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾辛钦大数定律的条件
辛钦大数定律指出：设随机变量序列 $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ 相互独立且同分布，且数学期望 $E(X_i) = \mu$ 存在（有限），则对于任意 $\varepsilon > 0$，有 $\lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \mu \right| < \varepsilon \right) = 1$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \mu \right| < \varepsilon \right) = 1$$
提示：注意期望存在且有限
步骤 2/5
目标：分析题目已知条件
题目已给出 $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ 相互独立且同分布，因此辛钦大数定律的“独立同分布”条件已满足。
提示：注意独立同分布是辛钦大数定律的前提
步骤 3/5
目标：确定缺失的条件
辛钦大数定律还需要随机变量的数学期望存在且有限。由于随机变量同分布，它们具有相同的数学期望，因此只需该期望存在（即 $E(X_i)$ 为有限常数）。
提示：辛钦大数定律要求期望存在且有限
步骤 4/5
目标：得出结论
因此，要使 $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ 服从辛钦大数定律，只需随机变量 $X_i$ 具有相同的数学期望（即期望存在且有限）。
提示：注意辛钦大数定律要求期望存在且有限
步骤 5/5
目标：填写答案
答案：具有相同的数学期望
提示：注意独立同分布与期望的关系
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