📝 题目
### 第275题
设 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ ，已知 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 与 $Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}$ 为分别来自总体 $X$ 与 $Y$ 的两个相互独立的简单随机样本，它们的样本均值与样本方差分别为 $\bar{X}, \bar{Y}$ 和 $S_{X}^{2}, S_{Y}^{2}$ ，则统计量 $\displaystyle F=\frac{n(\bar{X}-\bar{Y})^{2}}{S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}}$ 服从的分布和参数为 $\_\_\_\_$。
建议谷题时问
💡 答案解析
**答案**：$F(1,2n-2)$ **解析**：步骤1：$\displaystyle \bar{X}\sim N(0,\frac{\sigma^2}{n})$，$\displaystyle \bar{Y}\sim N(0,\frac{\sigma^2}{n})$，则$\displaystyle \bar{X}-\bar{Y}\sim N(0,\frac{2\sigma^2}{n})$。步骤2：$\displaystyle \frac{n(\bar{X}-\bar{Y})^2}{2\sigma^2}\sim \chi^2(1)$。步骤3：$(n-1)S_X^2/\sigma^2\sim \chi^2(n-1)$，$(n-1)S_Y^2/\sigma^2\sim \chi^2(n-1)$，且独立，故$(S_X^2+S_Y^2)/\sigma^2\sim \chi^2(2n-2)$。步骤4：$\displaystyle F=\frac{n(\bar{X}-\bar{Y})^2/2\sigma^2}{(S_X^2+S_Y^2)/\sigma^2/(2n-2)}=\frac{n(\bar{X}-\bar{Y})^2}{S_X^2+S_Y^2}\cdot\frac{2n-2}{2}$，故$F\sim F(1,2n-2)$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
目标：确定样本均值的分布
由于 $X \sim N(0, \sigma^2)$，$Y \sim N(0, \sigma^2)$，且样本独立，则 $\bar{X} \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，$\bar{Y} \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。因此 $\bar{X} - \bar{Y} \sim N\left(0, \frac{2\sigma^2}{n}\right)$。
公式：$$\bar{X} \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right), \bar{Y} \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right), \bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(0, \frac{2\sigma^2}{n}\right)$$
提示：注意方差相加而非相减
目标：构造卡方分布（分子部分）
标准化得 $\frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{2\sigma^2/n}} \sim N(0,1)$，平方得 $\frac{n(\bar{X} - \bar{Y})^2}{2\sigma^2} \sim \chi^2(1)$。
公式：$$\frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{2\sigma^2/n}} \sim N(0,1), \quad \frac{n(\bar{X} - \bar{Y})^2}{2\sigma^2} \sim \chi^2(1)$$
提示：注意标准化时方差需正确合并
目标：构造卡方分布（分母部分）
由样本方差性质，$\frac{(n-1)S_X^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，$\frac{(n-1)S_Y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，且两者独立。故 $\frac{(n-1)S_X^2 + (n-1)S_Y^2}{\sigma^2} = \frac{(n-1)(S_X^2 + S_Y^2)}{\sigma^2} \sim \chi^2(2n-2)$。
公式：$$\frac{(n-1)S_X^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1), \quad \frac{(n-1)S_Y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$$
提示：注意两个卡方分布独立才能相加
目标：构造F统计量
由F分布定义，$F = \frac{\frac{n(\bar{X} - \bar{Y})^2}{2\sigma^2} / 1}{\frac{(n-1)(S_X^2 + S_Y^2)}{\sigma^2} / (2n-2)} = \frac{n(\bar{X} - \bar{Y})^2}{S_X^2 + S_Y^2} \cdot \frac{2n-2}{2}$。因此 $F \sim F(1, 2n-2)$。
公式：$$F = \frac{n(\bar{X} - \bar{Y})^2}{S_X^2 + S_Y^2} \cdot \frac{2n-2}{2}$$
提示：注意分母自由度匹配
目标：得出最终答案
统计量 $F = \frac{n(\bar{X} - \bar{Y})^2}{S_X^2 + S_Y^2}$ 服从自由度为 $(1, 2n-2)$ 的F分布，即 $F \sim F(1, 2n-2)$。
公式：$$F = \frac{n(\bar{X} - \bar{Y})^2}{S_X^2 + S_Y^2} \sim F(1, 2n-2)$$
提示：注意分母是两样本方差之和，非合并方差