💡 答案解析
**答案**：$F(1,1)$ **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{12\pi}e^{-\frac{1}{72}(9x^2+4y^2-8y+4)}=\frac{1}{12\pi}e^{-\frac{1}{72}[9x^2+4(y-1)^2]}$。步骤2：此为二维正态分布，$X\sim N(0,4)$？比较：$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]\}$。由指数项得$\displaystyle \frac{9x^2}{72}=\frac{x^2}{8}$，$\displaystyle \frac{4(y-1)^2}{72}=\frac{(y-1)^2}{18}$，无交叉项，故$\rho=0$，$\sigma_1^2=4$？$\displaystyle \frac{1}{2\sigma_1^2}=\frac{1}{8}$得$\sigma_1^2=4$，$\displaystyle \frac{1}{2\sigma_2^2}=\frac{1}{18}$得$\sigma_2^2=9$，且$\mu_1=0,\mu_2=1$。步骤3：$\displaystyle \frac{9X^2}{4(Y-1)^2}=\frac{9}{4}\cdot\frac{X^2}{(Y-1)^2}$，而$X/2\sim N(0,1)$，$(Y-1)/3\sim N(0,1)$，故$\displaystyle \frac{X^2/4}{(Y-1)^2/9}=\frac{9X^2}{4(Y-1)^2}\sim F(1,1)$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
目标：化简概率密度函数
将 $f(x,y)$ 的指数部分配方：$9x^2+4y^2-8y+4 = 9x^2+4(y^2-2y+1) = 9x^2+4(y-1)^2$，因此 $f(x,y) = \frac{1}{12\pi} e^{-\frac{1}{72}[9x^2+4(y-1)^2]}$。
公式：$$9x^2+4y^2-8y+4 = 9x^2+4(y-1)^2$$
提示：配方时注意常数项调整
目标：识别二维正态分布参数
二维正态分布的概率密度为 $f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}$。对比指数项：$\frac{9x^2}{72}=\frac{x^2}{8}$，$\frac{4(y-1)^2}{72}=\frac{(y-1)^2}{18}$，无交叉项，故 $\rho=0$。由 $\frac{1}{2\sigma_1^2}=\frac{1}{8}$ 得 $\sigma_1^2=4$，由 $\frac{1}{2\sigma_2^2}=\frac{1}{18}$ 得 $\sigma_2^2=9$，且 $\mu_1=0,\mu_2=1$。
公式：$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}$$
提示：注意指数项系数与分母的对应关系
目标：标准化随机变量
由 $X\sim N(0,4)$ 得 $\frac{X}{2}\sim N(0,1)$；由 $Y\sim N(1,9)$ 得 $\frac{Y-1}{3}\sim N(0,1)$。
公式：$$\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$$
提示：注意标准化时均值和标准差要正确
目标：构造F分布统计量
考虑 $\frac{9X^2}{4(Y-1)^2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{X^2}{(Y-1)^2} = \frac{X^2/4}{(Y-1)^2/9} = \frac{(X/2)^2}{((Y-1)/3)^2}$。由于分子和分母均为独立的标准正态变量的平方，即 $\chi^2(1)$ 分布，且相互独立，故该比值服从 $F(1,1)$ 分布。
公式：$$\frac{9X^2}{4(Y-1)^2} = \frac{(X/2)^2}{((Y-1)/3)^2} \sim F(1,1)$$
提示：注意分子分母独立且均为标准正态平方
目标：得出结论
因此 $\frac{9X^2}{4(Y-1)^2}$ 服从 $F(1,1)$ 分布。
提示：注意分母中(Y-1)的平方与分子中X的平方的系数匹配