kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第277题
📝 题目
### 第277题
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，记样本方差为 $S^{2}$ ，则 $D\left(S^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
管題 区域
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2\sigma^4}{n-1}$ **解析**：步骤1：由抽样分布定理，$\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$。步骤2：$\chi^2(n-1)$的方差为$2(n-1)$。步骤3：$\displaystyle D\left(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\right)=2(n-1)$，故$\displaystyle D(S^2)=\frac{2\sigma^4}{(n-1)^2}\cdot (n-1)=\frac{2\sigma^4}{n-1}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：利用抽样分布定理
由抽样分布定理，对于来自正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，样本方差 $S^2$ 满足：
$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$$
公式：$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$$
提示：注意样本方差S²的定义，分母为n-1
步骤 2/5
目标：步骤2：确定卡方分布的方差
卡方分布 $\chi^2(k)$ 的方差为 $2k$，因此对于 $\chi^2(n-1)$，有：
$$D\left(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\right) = 2(n-1)$$
公式：$$D(\chi^2(k)) = 2k$$
提示：注意卡方分布方差公式中的自由度k
步骤 3/5
目标：步骤3：利用方差的性质求解
由方差的性质 $D(aX) = a^2 D(X)$，可得：
$$D\left(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\right) = \frac{(n-1)^2}{\sigma^4} D(S^2)$$
代入上一步结果：
$$\frac{(n-1)^2}{\sigma^4} D(S^2) = 2(n-1)$$
公式：$$D(aX) = a^2 D(X)$$
提示：注意系数平方后乘方差
步骤 4/5
目标：步骤4：解出 $D(S^2)$
将上式两边同乘以 $\frac{\sigma^4}{(n-1)^2}$，得：
$$D(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}$$
公式：$$D(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}$$
提示：注意分母是n-1，不是n
步骤 5/5
目标：步骤5：得出最终答案
因此，样本方差 $S^2$ 的方差为：
$$\boxed{\displaystyle \frac{2\sigma^4}{n-1}}$$
公式：$$\operatorname{Var}(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}$$
提示：注意分母是n-1而非n
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