kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第278题
📝 题目
### 第278题
假设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{16}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，$S^{2}$ 为样本方差，如果 $P\{\bar{X}>\mu+a S\}=0.95$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．$\left(t_{0.05}(15)=1.7531\right)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-1.7531$ **解析**：步骤1：$P\{\bar{X}>\mu+aS\}=0.95$，即$\displaystyle P\{\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{16}}>a\sqrt{16}\}=P\{t(15)>4a\}=0.95$。步骤2：$t_{0.05}(15)=1.7531$，故$P\{t(15)>1.7531\}=0.05$，则$P\{t(15)>-1.7531\}=0.95$。步骤3：所以$4a=-1.7531$，得$a=-0.438275$？实际$t_{0.05}(15)=1.7531$，则$P\{t(15)>-1.7531\}=0.95$，故$4a=-1.7531$，$a=-0.438275$。但题目要求$a$值，答案为$-0.4383$？精确：$\displaystyle a=-\frac{1.7531}{4}=-0.438275$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：标准化变换
由题意，$X_1,\ldots,X_{16}$ 来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$，样本均值 $\bar{X}$，样本方差 $S^2$。概率条件 $P\{\bar{X}>\mu+aS\}=0.95$ 可变形为 $P\left\{\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{16}} > a\sqrt{16}\right\}=0.95$，即 $P\left\{t(15) > 4a\right\}=0.95$，其中 $t(15)$ 服从自由度为15的t分布。
公式：$$P\left\{\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{16}} > a\sqrt{16}\right\}=0.95$$
提示：注意t分布的自由度为n-1
步骤 2/4
目标：利用t分布分位数
已知 $t_{0.05}(15)=1.7531$，表示 $P\{t(15) > 1.7531\}=0.05$。由t分布的对称性，$P\{t(15) > -1.7531\}=0.95$。因此 $4a = -1.7531$。
公式：$$P\{t(15) > 1.7531\}=0.05, \quad P\{t(15) > -1.7531\}=0.95$$
提示：注意t分布对称性，分位数符号对应概率
步骤 3/4
目标：求解参数a
解方程 $4a = -1.7531$，得 $a = -\frac{1.7531}{4} = -0.438275$。
公式：$$4a = -1.7531$$
提示：注意系数除法，符号保留
步骤 4/4
目标：最终答案
故 $a = -0.4383$（四舍五入保留四位小数）或精确值为 $-0.438275$。
提示：注意四舍五入精度要求
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