kaoyan1basic 高等数学 第659题
📝 题目
### 第659题 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-1,0)$ 处的切线方程为 （A）$\displaystyle \frac{x-1}{2}=y+1=z$ ． （B）$\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$ ． （D）$\displaystyle x-1=y+1=-\frac{z}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：曲线为两曲面交线，在点$(1,-1,0)$处，对$x^2+y^2+z^2=2$求梯度得$(2,-2,0)$，对$x+y+z=0$求梯度得$(1,1,1)$。 步骤2：切线方向向量为两梯度向量的叉积：$(2,-2,0)\times(1,1,1)=(-2,-2,4)$，方向向量可化为$(1,1,-2)$，故切线方程为$\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-2}$，即$\displaystyle \frac{x-1}{2}=y+1=z$（乘以2）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求两曲面在点处的法向量
对曲面 x^2+y^2+z^2=2 求梯度得 (2x,2y,2z)，代入点 (1,-1,0) 得 (2,-2,0)。对平面 x+y+z=0 求梯度得 (1,1,1)。
公式：梯度：∇F=(∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z)
提示：梯度方向是曲面法向量方向。
步骤 2/3
目标：求切线的方向向量
切线方向向量为两法向量的叉积：(2,-2,0)×(1,1,1)=(-2,-2,4)，化简为 (1,1,-2)。
公式：叉积：a×b = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)
提示：叉积结果可约去公因子。
步骤 3/3
目标：写出切线方程
由点 (1,-1,0) 和方向向量 (1,1,-2) 得对称式方程：(x-1)/1 = (y+1)/1 = z/(-2)。化为选项形式：乘以2得 (x-1)/2 = y+1 = z。
公式：空间直线对称式方程：(x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p
提示：注意方向向量比例可缩放。
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