kaoyan1basic 高等数学 第660题
📝 题目
### 第660题 函数 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在点 $(1,-1,1)$ 处沿曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=t^{3}$ 在该点指向 $x$ 轴负向一侧的切线方向的方向导数等于 （A）-12 ． （B） 12 ． （C）$\displaystyle -\frac{12}{\sqrt{14}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{14}}$ ． □
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：曲线在点$(1,-1,1)$对应$t=1$，切向量为$(1,-2t,3t^2)|_{t=1}=(1,-2,3)$，指向$x$轴负向一侧的切线方向为$(-1,2,-3)$，单位化得$\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},-\frac{3}{\sqrt{14}}\right)$。 步骤2：梯度$\nabla f=(2x,2y,2z)$，在点$(1,-1,1)$处为$(2,-2,2)$，方向导数为$\displaystyle (2,-2,2)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},-\frac{3}{\sqrt{14}}\right)=\frac{-2-4-6}{\sqrt{14}}=-\frac{12}{\sqrt{14}}$，但题目要求“指向$x$轴负向一侧”，即方向向量取$(-1,2,-3)$，计算结果为$\displaystyle -\frac{12}{\sqrt{14}}$，但选项D为$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{14}}$，需注意方向定义：若沿该方向导数为负，则相反方向为正，而题目指定方向为指向负向，故答案为$\displaystyle -\frac{12}{\sqrt{14}}$，但选项无此，检查：实际计算得$(2,-2,2)\cdot(-1,2,-3)=-2-4-6=-12$，除以模$\sqrt{14}$得$\displaystyle -\frac{12}{\sqrt{14}}$，对应C。 **答案更正**：C **解析**：步骤1：曲线在点$(1,-1,1)$对应$t=1$，切向量为$(1,-2t,3t^2)|_{t=1}=(1,-2,3)$，指向$x$轴负向一侧的切线方向为$(-1,2,-3)$，单位化得$\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},-\frac{3}{\sqrt{14}}\right)$。 步骤2：梯度$\nabla f=(2x,2y,2z)$，在点$(1,-1,1)$处为$(2,-2,2)$，方向导数为$\displaystyle (2,-2,2)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},-\frac{3}{\sqrt{14}}\right)=\frac{-2-4-6}{\sqrt{14}}=-\frac{12}{\sqrt{14}}$。 **难度**：★★★☆☆