kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
## 第1题 (高等数学 - 未知) 设函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且 $\forall x \in(-\infty,+\infty), f(x+2)- f(x)=f(2)$ ，若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，则 $f(1)=$
💡 答案解析
**答案**：0 **解析**：步骤1：由$f(x+2)-f(x)=f(2)$，且$f(x)$以2为周期，则$f(x+2)=f(x)$，代入得$f(x)-f(x)=f(2)$，故$f(2)=0$。 步骤2：令$x=-1$，得$f(1)-f(-1)=f(2)=0$，由奇函数$f(-1)=-f(1)$，则$f(1)+f(1)=0$，解得$f(1)=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用周期性质简化条件
由题设，f(x)以2为周期，故f(x+2)=f(x)。代入已知等式f(x+2)-f(x)=f(2)，得f(x)-f(x)=f(2)，即0=f(2)，所以f(2)=0。
公式：f(x+2)=f(x)
提示：周期函数的定义：f(x+T)=f(x)。
步骤 2/2
目标：利用奇函数性质求f(1)
在已知等式f(x+2)-f(x)=f(2)中，令x=-1，得f(1)-f(-1)=f(2)=0。因为f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)。代入得f(1)-(-f(1))=0，即2f(1)=0，解得f(1)=0。
公式：f(-x)=-f(x)
提示：奇函数性质：f(-x)=-f(x)。
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